Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функция
СообщениеДобавлено: 17 апр 2016, 23:03 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:59
Сообщений: 167
Откуда: Гродно
Cпасибо сказано: 113
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
сумма наибольшего и наименьшего значения функции
[math]y=(\frac{1}{5}sin5x+\frac{1}{5}cos5x)^{2}[/math] равна

подскажите с чего начать

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 17 апр 2016, 23:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Надо раскрыть скобки и воспользоваться тождеством [math]{\cos ^2}\alpha +{\sin ^2}\alpha = 1.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
kucher
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 18 апр 2016, 10:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно ещё воспользоваться формулой: [math]sin \alpha +cos \alpha =\sqrt{2}sin(\alpha+\frac{ \pi }{ 4 } )[/math]. Тогда после возведения в квадрат получаем [math]min=0[/math] и [math]max=\frac {2}{25}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
kucher
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 19 апр 2016, 10:48 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:59
Сообщений: 167
Откуда: Гродно
Cпасибо сказано: 113
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
как к этому виду привести я разобрался

[math]\frac{1}{25}sin^{2}5x+2*\frac{1}{5}sin5x\frac{1}{5}cos5x+\frac{1}{25}cos^{2}5x[/math]

[math]\frac{1}{25}(1+2sin5xcos5x)[/math]

скажите, обязательно ли через производную находить min и max ?
каким наиболее простым способом рассчитать min max ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 19 апр 2016, 19:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
kucher писал(а):
каким наиболее простым способом рассчитать min max ?

Воспользуйтесь тождеством [math]2\sin \alpha \cos \alpha = \sin \left({2\alpha}\right)[/math] и тем, что синус принимает значения от -1 до +1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
kucher
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 19 июн 2016, 13:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 июн 2016, 12:45
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
y=sinx в точке x[math]_{0}[/math] = e найти производную функции

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 19 июн 2016, 17:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D, мне кажется у этой задачи должно быть еще какое-нибудь решение, например, геометрическое :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 19 июн 2016, 23:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Anatole, согласен. Вот еще один способ решения.

Два вектора длины [math]\frac{1}{5}[/math] расположены на плоскости под углом 90° друг к другу.
Данная функция эквивалентна квадрату суммы проекций векторов на некоторую ось.
Сумма проекций равна проекции суммы векторов. По правилам сложения векторов их сумма является вектором длины [math]\frac{{\sqrt 2}}{5}[/math] (диагональ квадрата). Квадрат проекции вектора не может быть меньше нуля (при этом результирующий вектор перпендикулярен оси) и больше [math]\frac{2}{{25}}[/math] (вектор коллинеарен оси).

Этот способ можно распространить, например, на задачу с вот такой функцией двух переменных: [math]y={\left( {a \cdot \sin \alpha + b \cdot \cos \alpha \sin \beta + c \cdot \cos \alpha \cos \beta } \right)^2}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 20 июн 2016, 23:03 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 21:28
Сообщений: 2695
Cпасибо сказано: 236
Спасибо получено:
841 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 207

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac{ 1 }{ 5 }[/math] полезно вынести за скобки.
Тогда имеем в скобках сумму синуса и косинуса в квадрате.
Максимум квадрата достигается при максимуме суммы, что геометрически эквивалентно максимальному периметру прямоугольника, вписанного в единичную окружность, коим является квадрат.
Отсюда следует, что слагаемые, доставляющие максимум - равны. Т.е. сумма равна [math]\sqrt{2}[/math].
Ну, а дальше все ясно :)


Li6-D писал(а):
Этот способ можно распространить, например, на задачу с вот такой функцией двух переменных

Li6-D, если будет время поясните, я, честно говоря, не достиг Вашей меры :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Anatole "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Функция
СообщениеДобавлено: 21 июн 2016, 17:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Внесу свои пять копеек.
Можно использовать неравенство Коши-Буняковского
[math]{\left({\sum\limits_{k = 1}^n{{a_k}{b_k}}}\right)^2}\leqslant \left({\sum\limits_{k = 1}^n{{a_k}^2}}\right)\left({\sum\limits_{k = 1}^n{{b_k}^2}}\right)[/math] ,
которое обращается в равенство, если координаты векторов [math]\overline a = \left({{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}}\right)[/math] и [math]\overline b = \left({{b_1},{b_2}, \ldots ,{b_n}}\right)[/math] пропорциональны (векторы коллинеарны).
Тогда
[math]{\left({\frac{1}{5}\sin 5x + \frac{1}{5}\cos 5x}\right)^2}\leqslant \left({\frac{1}{{25}}+ \frac{1}{{25}}}\right)\left({{{\sin}^2}5x +{{\cos}^2}5x}\right) = \frac{2}{{25}}[/math].
Аналогично
[math]{\left({a\sin \alpha + b\cos \alpha \sin \beta + c\cos \alpha \cos \beta}\right)^2}\leqslant \left({{a^2}+{{\left({b\sin \beta + c\cos \beta}\right)}^2}}\right)\left({{{\sin}^2}\alpha +{{\cos}^2}\alpha}\right) \leqslant{a^2}+ \left({{b^2}+{c^2}}\right)\left({{{\sin}^2}\beta +{{\cos}^2}\beta}\right)[/math]
и различные обобщения на многомерный случай.
Здесь неравенства точные, т.е. превращаются в равенства при надлежащем выборе углов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Anatole, Li6-D
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Обсуждение. Функция стоимости, функция градиентного спуска

в форуме Дифференциальное исчисление

someoneelse

0

152

06 май 2021, 15:24

Функция Коши и функция Грина

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Anastasiia2801

2

697

21 июн 2016, 16:26

Функция

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Mobile

12

926

30 июн 2015, 00:21

Функция

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Dumonchuk

0

270

07 дек 2014, 15:13

Функция

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Vlad136

6

479

18 ноя 2017, 21:02

Функция

в форуме Тригонометрия

FastFires

3

391

11 дек 2016, 23:19

Функция

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nicat

3

403

22 июл 2015, 11:22

Функция

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nicat

3

439

22 авг 2015, 09:16

Функция y(x)

в форуме Алгебра

pashcake

6

300

23 сен 2022, 14:10

Функция

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nicat

2

384

04 июл 2015, 01:30


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved