Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказательства тригонометрических неравенств
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=29&t=36965
Страница 1 из 1

Автор:  Alexium [ 24 ноя 2014, 13:17 ]
Заголовок сообщения:  Доказательства тригонометрических неравенств

Докажите неравенство [math]\frac{ 2cosX }{ 1+cosX }[/math] [math]<[/math] [math]\frac{ sinX }{ X }[/math] при 0 [math]<[/math] X [math]<[/math] [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math]

Автор:  Prokop [ 25 ноя 2014, 20:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательства тригонометрических неравенств

Кажется, признаки монотонности функции изучают в школе. Если да, то это стандартная задача.
Перепишем неравенство в виде
[math]2x < \operatorname{tg}x + \sin x[/math]
Рассмотрим функцию
[math]f\left( x \right) = \operatorname{tg}x + \sin x - 2x[/math]
и покажем что она положительна на промежутке [math]\left({0,\frac{\pi}{2}}\right)[/math]
Действительно,
[math]f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos}^2}x}}+ \cos x - 2 = \frac{{1 - \cos x}}{{{{\cos}^2}x}}+ \left({\frac{1}{{\cos x}}+ \cos x - 2}\right) > 0[/math]
на промежутке[math]\left({0,\frac{\pi}{2}}\right)[/math]

Конечно, интересно геометрическое решение или решение, не использующее производных.

Автор:  Alexium [ 27 ноя 2014, 09:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательства тригонометрических неравенств

Prokop писал(а):
Кажется, признаки монотонности функции изучают в школе. Если да, то это стандартная задача.

Я бы может и сам доказал бы, но у меня возникли небольшие проблемки с преобразованием и упрощением этого выражения.
А все я понял! Спасибо огромное!) только я немножко не понял преобразования после выведения функции, перед доказательством, что оно больше 0.

Автор:  Prokop [ 27 ноя 2014, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательства тригонометрических неравенств

Alexium, я не понял Ваш вопрос.

Автор:  Alexium [ 28 ноя 2014, 01:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательства тригонометрических неравенств

Prokop
Я не понял как перешли от [math]f(x)[/math] к [math]f'(x)[/math]

Автор:  Prokop [ 28 ноя 2014, 17:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательства тригонометрических неравенств

[math]f'\left( x \right)[/math] - производная функции.
Неравенство
[math]2x < \operatorname{tg}x + \sin x, 0 < x < \frac{\pi}{2}[/math], (1)
можно доказать и без использования производной. Для этого используем неравенство
[math]\alpha < \operatorname{tg}\alpha[/math]
при [math]0 < \alpha < \frac{\pi}{2}[/math]. Тогда
[math]2x < 4\operatorname{tg}\frac{x}{2}[/math]
Поэтому неравенство (1) будет доказано, если верно неравенство
[math]4\operatorname{tg}\frac{x}{2}< \operatorname{tg}x + \sin x[/math] , (2)
при [math]0 < x < \frac{\pi}{2}[/math].
Выразим правую часть через тангенс половинного угла [math]\operatorname{tg}\frac{x}{2}= t[/math] , [math]0 < t < 1[/math].
В этих обозначениях неравенство (2) примет вид
[math]4t < \frac{{2t}}{{1 -{t^2}}}+ \frac{{2t}}{{1 +{t^2}}}[/math],
при [math]0 < t < 1[/math]. Последнее неравенство легко доказывается.

Автор:  Alexium [ 29 ноя 2014, 01:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательства тригонометрических неравенств

Prokop
Спасибо! Вот теперь спасибо)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/