Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказательства тригонометрических неравенств
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2014, 12:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 ноя 2014, 12:07
Сообщений: 51
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Докажите неравенство [math]\frac{ 2cosX }{ 1+cosX }[/math] [math]<[/math] [math]\frac{ sinX }{ X }[/math] при 0 [math]<[/math] X [math]<[/math] [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательства тригонометрических неравенств
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2014, 19:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кажется, признаки монотонности функции изучают в школе. Если да, то это стандартная задача.
Перепишем неравенство в виде
[math]2x < \operatorname{tg}x + \sin x[/math]
Рассмотрим функцию
[math]f\left( x \right) = \operatorname{tg}x + \sin x - 2x[/math]
и покажем что она положительна на промежутке [math]\left({0,\frac{\pi}{2}}\right)[/math]
Действительно,
[math]f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos}^2}x}}+ \cos x - 2 = \frac{{1 - \cos x}}{{{{\cos}^2}x}}+ \left({\frac{1}{{\cos x}}+ \cos x - 2}\right) > 0[/math]
на промежутке[math]\left({0,\frac{\pi}{2}}\right)[/math]

Конечно, интересно геометрическое решение или решение, не использующее производных.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alexium, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Доказательства тригонометрических неравенств
СообщениеДобавлено: 27 ноя 2014, 08:23 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 ноя 2014, 12:07
Сообщений: 51
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Кажется, признаки монотонности функции изучают в школе. Если да, то это стандартная задача.

Я бы может и сам доказал бы, но у меня возникли небольшие проблемки с преобразованием и упрощением этого выражения.
А все я понял! Спасибо огромное!) только я немножко не понял преобразования после выведения функции, перед доказательством, что оно больше 0.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательства тригонометрических неравенств
СообщениеДобавлено: 27 ноя 2014, 17:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexium, я не понял Ваш вопрос.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательства тригонометрических неравенств
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2014, 00:02 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 ноя 2014, 12:07
Сообщений: 51
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Я не понял как перешли от [math]f(x)[/math] к [math]f'(x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказательства тригонометрических неравенств
СообщениеДобавлено: 28 ноя 2014, 16:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]f'\left( x \right)[/math] - производная функции.
Неравенство
[math]2x < \operatorname{tg}x + \sin x, 0 < x < \frac{\pi}{2}[/math], (1)
можно доказать и без использования производной. Для этого используем неравенство
[math]\alpha < \operatorname{tg}\alpha[/math]
при [math]0 < \alpha < \frac{\pi}{2}[/math]. Тогда
[math]2x < 4\operatorname{tg}\frac{x}{2}[/math]
Поэтому неравенство (1) будет доказано, если верно неравенство
[math]4\operatorname{tg}\frac{x}{2}< \operatorname{tg}x + \sin x[/math] , (2)
при [math]0 < x < \frac{\pi}{2}[/math].
Выразим правую часть через тангенс половинного угла [math]\operatorname{tg}\frac{x}{2}= t[/math] , [math]0 < t < 1[/math].
В этих обозначениях неравенство (2) примет вид
[math]4t < \frac{{2t}}{{1 -{t^2}}}+ \frac{{2t}}{{1 +{t^2}}}[/math],
при [math]0 < t < 1[/math]. Последнее неравенство легко доказывается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alexium, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Доказательства тригонометрических неравенств
СообщениеДобавлено: 29 ноя 2014, 00:43 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 ноя 2014, 12:07
Сообщений: 51
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
Спасибо! Вот теперь спасибо)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Система тригонометрических неравенств

в форуме Тригонометрия

351w

10

414

11 дек 2017, 15:01

Доказательства

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

DeD

9

177

18 окт 2016, 11:10

Доказательства

в форуме Алгебра

DeD

8

232

14 окт 2016, 10:46

Матрицы. Доказательства.

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

fimichsim

1

437

27 фев 2011, 17:51

Обоснование схемы доказательства

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Andy

1

90

09 янв 2017, 15:41

Как составить алгоритм доказательства в ИВ?

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Chayepit

1

176

07 апр 2015, 22:02

Проблема однозначности доказательства

в форуме Палата №6

maksspacew

2

333

21 окт 2014, 23:12

Доказательства с измеримыми множествами

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Komilfo

6

358

14 дек 2013, 17:30

Проблема при разборе доказательства

в форуме Теория чисел

Free Dreamer

2

353

02 мар 2013, 01:06

Доказательства полноты метрических пространств

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

RetRe

3

650

13 ноя 2013, 16:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved