Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Alexium |
|
||
|
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
Кажется, признаки монотонности функции изучают в школе. Если да, то это стандартная задача.
Перепишем неравенство в виде [math]2x < \operatorname{tg}x + \sin x[/math] Рассмотрим функцию [math]f\left( x \right) = \operatorname{tg}x + \sin x - 2x[/math] и покажем что она положительна на промежутке [math]\left({0,\frac{\pi}{2}}\right)[/math] Действительно, [math]f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos}^2}x}}+ \cos x - 2 = \frac{{1 - \cos x}}{{{{\cos}^2}x}}+ \left({\frac{1}{{\cos x}}+ \cos x - 2}\right) > 0[/math] на промежутке[math]\left({0,\frac{\pi}{2}}\right)[/math] Конечно, интересно геометрическое решение или решение, не использующее производных. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Alexium, mad_math |
|||
Alexium |
|
||
Prokop писал(а): Кажется, признаки монотонности функции изучают в школе. Если да, то это стандартная задача. Я бы может и сам доказал бы, но у меня возникли небольшие проблемки с преобразованием и упрощением этого выражения. А все я понял! Спасибо огромное!) только я немножко не понял преобразования после выведения функции, перед доказательством, что оно больше 0. |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
Alexium, я не понял Ваш вопрос.
|
|||
Вернуться к началу | |||
Alexium |
|
||
Prokop
Я не понял как перешли от [math]f(x)[/math] к [math]f'(x)[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
[math]f'\left( x \right)[/math] - производная функции.
Неравенство [math]2x < \operatorname{tg}x + \sin x, 0 < x < \frac{\pi}{2}[/math], (1) можно доказать и без использования производной. Для этого используем неравенство [math]\alpha < \operatorname{tg}\alpha[/math] при [math]0 < \alpha < \frac{\pi}{2}[/math]. Тогда [math]2x < 4\operatorname{tg}\frac{x}{2}[/math] Поэтому неравенство (1) будет доказано, если верно неравенство [math]4\operatorname{tg}\frac{x}{2}< \operatorname{tg}x + \sin x[/math] , (2) при [math]0 < x < \frac{\pi}{2}[/math]. Выразим правую часть через тангенс половинного угла [math]\operatorname{tg}\frac{x}{2}= t[/math] , [math]0 < t < 1[/math]. В этих обозначениях неравенство (2) примет вид [math]4t < \frac{{2t}}{{1 -{t^2}}}+ \frac{{2t}}{{1 +{t^2}}}[/math], при [math]0 < t < 1[/math]. Последнее неравенство легко доказывается. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Alexium, mad_math |
|||
Alexium |
|
||
Prokop
Спасибо! Вот теперь спасибо) |
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Система тригонометрических неравенств
в форуме Тригонометрия |
10 |
1332 |
11 дек 2017, 15:01 |
|
Доказательства
в форуме Алгебра |
8 |
422 |
14 окт 2016, 10:46 |
|
Доказательства | 9 |
386 |
18 окт 2016, 11:10 |
|
Доказательства теорем | 33 |
535 |
28 июл 2019, 02:09 |
|
Обоснование схемы доказательства | 1 |
256 |
09 янв 2017, 15:41 |
|
Пара задач на доказательства
в форуме Теория вероятностей |
0 |
212 |
11 дек 2018, 11:53 |
|
Проблема однозначности доказательства
в форуме Палата №6 |
2 |
601 |
21 окт 2014, 23:12 |
|
Как составить алгоритм доказательства в ИВ? | 1 |
321 |
07 апр 2015, 22:02 |
|
Разбор доказательства метрики
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
6 |
342 |
11 дек 2022, 11:09 |
|
Сокращенный вариант доказательства ВТФ
в форуме Теория чисел |
0 |
81 |
05 июл 2023, 15:15 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |