Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решить уравнение
СообщениеДобавлено: 08 апр 2014, 16:40 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 сен 2013, 15:05
Сообщений: 94
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день. Помогите с уравнением.


[math]\sin x(\cos 2x+\cos 6x)+\cos^2x=2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение
СообщениеДобавлено: 08 апр 2014, 20:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кажется у этого уравнения нет решений.
Навскидку,
[math]\left|{\sin x\cos 2x + \sin x\cos 6x +{{\cos}^2}x}\right| \leqslant \frac{1}{2}\left({{{\sin}^2}x +{{\cos}^2}2x}\right) + \frac{1}{2}\left({{{\sin}^2}x +{{\cos}^2}6x}\right) +{\cos ^2}x = 1 + \frac{1}{2}\left({{{\cos}^2}2x +{{\cos}^2}6x}\right) \leqslant 2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math, radix
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение
СообщениеДобавлено: 08 апр 2014, 23:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мой добрый дедушка-график говорит, что решения есть

Изображение

Осталось их найти
Мне это было легко получить, так как писал статью по кратным углам
http://lj.rossia.org/users/renuar911/2013/07/19/

Из нее следует, что [math]\cos(6x)=32c^6-48c^4+18c^2-1[/math]

Здесь [math]c=\cos(x)[/math]. Так как степени четные, то легко перевести на синусы, что я и сделал для нашего примера. Дел на 4 минуты.

В результате, если принять [math]t=\sin(x)[/math], то непременно сведем дело к полиному 7-й степени:

[math]-32t^7+48t^5-20t^3-t^2+2t-1=0[/math]

Этот полином имеет единственный действительный корень [math]t=-1[/math]

Отсюда: [math]x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n[/math]

Всегда делайте график, и ошибок не будет!

PS. В принципе [math]\cos(6x)=1-2\sin^2(3x)=1-2 [3\sin(x)-4\sin^3(x)]^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение
СообщениеДобавлено: 09 апр 2014, 00:39 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
(тут глюк у меня получился :( )

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение
СообщениеДобавлено: 09 апр 2014, 05:35 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Думаю, не стоит заставлять детей решать уравнения 7-ой степени.
Если выразить квадрат косинуса через синус, то легко получит квадратное уравнение относительно синуса:

[math]\sin^2{x} -a\cdot\sin{x}+1=0[/math].
где
[math]a=\cos{2x} +\cos{6x}[/math]. Ясно, что для всех х: [math]\left| a \right| \leqslant 2[/math]
Легко видеть, что дискриминант этого уравнения [math]a^2-4[/math] всегда неположителен и обращается в 0
только в точках вида [math]x= \pi n[/math] или [math]x= \frac{ \pi }{ 2 } +\pi n[/math] .

Осталось проверить эти числа простой подстановкой.
Получим, действительно, [math]x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали:
mad_math, radix, Uncle Fedor
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение
СообщениеДобавлено: 09 апр 2014, 11:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar, я ничего не говорю про сложность или легкость метода. Я советую просто всегда пользоваться таким современным благом, как построение графиков функций. Ибо в данной теме именно график позволил диаметрально противоположно изменить точку зрения на задачу: предполагали, что решений нет, а оказалось, что решения есть. Доказал же это аналитически, как сумел.
Проблема сия не праздная. Лет 10 назад я проанализировал десятки тысяч школьных и студенческих решений и пришел к интереснейшему выводу: 4% кардинальных ошибок получаются только из-за лени строить наглядную картинку формулы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение
СообщениеДобавлено: 09 апр 2014, 11:57 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Наверное, как у venjar, но делал вчера, жалко выкидывать

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение
СообщениеДобавлено: 09 апр 2014, 12:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 14:27
Сообщений: 1978
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 384
Спасибо получено:
1069 раз в 855 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, ВЫ НЕ "ПОСТРОИЛИ НАГЛЯДНУЮ КАРТИНКУ ФОРМУЛЫ"!
Вы загнали её в автоматический решатель! Это разные вещи! Посмотреть ответ и подогнать под него своё решение - так делают, обычно, ИЗ-ЗА ЛЕНИ! Ну, или по какой другой причине.

Решение Prokop'а тоже даёт верный результат: рассмотрите, в каких точках достигается равенство двойке и подставьте их в исходное неравенство.

Prokop, venjar, pewpimkin :good:
Снимаю шляпу. Мне это уравнение оказалось не по зубам. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
venjar
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение
СообщениеДобавлено: 09 апр 2014, 12:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вечером, слегка потеряв концентрацию, я сделал предположение об отсутствии решений уравнения. Виноват.
Но здесь можно обойтись без графиков. Если учесть то, что в неравенстве [math]ab \leqslant \frac{1}{2}\left({{a^2}+{b^2}}\right)[/math]
равенство достигается лишь при [math]a=b[/math], то в цепочке неравенств
[math]{\sin x\cos 2x + \sin x\cos 6x +{{\cos}^2}x}\leqslant \frac{1}{2}\left({{{\sin}^2}x +{{\cos}^2}2x}\right) + \frac{1}{2}\left({{{\sin}^2}x +{{\cos}^2}6x}\right) +{\cos ^2}x = 1 + \frac{1}{2}\left({{{\cos}^2}2x +{{\cos}^2}6x}\right) \leqslant 2[/math]
равенства возможны лишь при
[math]\sin x = \cos 2x = \cos 6x[/math]
[math]\left|{\cos 2x}\right| = \left|{\cos 6x}\right| = 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math, Uncle Fedor
 Заголовок сообщения: Re: Решить уравнение
СообщениеДобавлено: 09 апр 2014, 14:12 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
venjar, я ничего не говорю про сложность или легкость метода. Я советую просто всегда пользоваться таким современным благом, как построение графиков функций. Ибо в данной теме именно график позволил диаметрально противоположно изменить точку зрения на задачу: предполагали, что решений нет, а оказалось, что решения есть. Доказал же это аналитически, как сумел.
Проблема сия не праздная. Лет 10 назад я проанализировал десятки тысяч школьных и студенческих решений и пришел к интереснейшему выводу: 4% кардинальных ошибок получаются только из-за лени строить наглядную картинку формулы.

Согласен. График может подсказать даже направление решения.
Я хотел сказать, что у школьника на контрольной или ЕГЭ нет возможности строить такие графики. Поэтому надо стараться пользоваться тем, что разрешено.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решить уравнение уравнение с обособленными переменными

в форуме Дифференциальное исчисление

Juliiii

2

308

17 май 2022, 21:03

Решить уравнение

в форуме Тригонометрия

makc59

1

340

03 дек 2017, 13:33

Решить уравнение

в форуме Алгебра

makc59

7

599

03 дек 2017, 20:53

Решить уравнение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

tanyhaftv

6

245

07 окт 2021, 13:09

Решить уравнение: x^5+y^5=az^5

в форуме Палата №6

Markopolo

2

538

06 ноя 2014, 13:20

Решить уравнение: x^3=ay^3+1

в форуме Палата №6

Markopolo

55

3405

04 ноя 2014, 11:55

Решить уравнение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Nek

1

337

21 окт 2014, 09:12

Решить уравнение

в форуме Алгебра

Kukusya

12

597

27 окт 2014, 20:09

Решить уравнение

в форуме Численные методы

Nurzha18

1

276

04 дек 2017, 16:24

Решить уравнение

в форуме Дифференциальное исчисление

kolya1114

2

284

27 окт 2014, 14:40


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved