Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Daria2195 |
|
|
[math]\sin x(\cos 2x+\cos 6x)+\cos^2x=2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Кажется у этого уравнения нет решений.
Навскидку, [math]\left|{\sin x\cos 2x + \sin x\cos 6x +{{\cos}^2}x}\right| \leqslant \frac{1}{2}\left({{{\sin}^2}x +{{\cos}^2}2x}\right) + \frac{1}{2}\left({{{\sin}^2}x +{{\cos}^2}6x}\right) +{\cos ^2}x = 1 + \frac{1}{2}\left({{{\cos}^2}2x +{{\cos}^2}6x}\right) \leqslant 2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mad_math, radix |
||
Avgust |
|
|
Мой добрый дедушка-график говорит, что решения есть
Осталось их найти Мне это было легко получить, так как писал статью по кратным углам http://lj.rossia.org/users/renuar911/2013/07/19/ Из нее следует, что [math]\cos(6x)=32c^6-48c^4+18c^2-1[/math] Здесь [math]c=\cos(x)[/math]. Так как степени четные, то легко перевести на синусы, что я и сделал для нашего примера. Дел на 4 минуты. В результате, если принять [math]t=\sin(x)[/math], то непременно сведем дело к полиному 7-й степени: [math]-32t^7+48t^5-20t^3-t^2+2t-1=0[/math] Этот полином имеет единственный действительный корень [math]t=-1[/math] Отсюда: [math]x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n[/math] Всегда делайте график, и ошибок не будет! PS. В принципе [math]\cos(6x)=1-2\sin^2(3x)=1-2 [3\sin(x)-4\sin^3(x)]^2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
(тут глюк у меня получился )
|
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
Думаю, не стоит заставлять детей решать уравнения 7-ой степени.
Если выразить квадрат косинуса через синус, то легко получит квадратное уравнение относительно синуса: [math]\sin^2{x} -a\cdot\sin{x}+1=0[/math]. где [math]a=\cos{2x} +\cos{6x}[/math]. Ясно, что для всех х: [math]\left| a \right| \leqslant 2[/math] Легко видеть, что дискриминант этого уравнения [math]a^2-4[/math] всегда неположителен и обращается в 0 только в точках вида [math]x= \pi n[/math] или [math]x= \frac{ \pi }{ 2 } +\pi n[/math] . Осталось проверить эти числа простой подстановкой. Получим, действительно, [math]x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю venjar "Спасибо" сказали: mad_math, radix, Uncle Fedor |
||
Avgust |
|
|
venjar, я ничего не говорю про сложность или легкость метода. Я советую просто всегда пользоваться таким современным благом, как построение графиков функций. Ибо в данной теме именно график позволил диаметрально противоположно изменить точку зрения на задачу: предполагали, что решений нет, а оказалось, что решения есть. Доказал же это аналитически, как сумел.
Проблема сия не праздная. Лет 10 назад я проанализировал десятки тысяч школьных и студенческих решений и пришел к интереснейшему выводу: 4% кардинальных ошибок получаются только из-за лени строить наглядную картинку формулы. |
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
Наверное, как у venjar, но делал вчера, жалко выкидывать |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: mad_math |
||
radix |
|
|
Avgust, ВЫ НЕ "ПОСТРОИЛИ НАГЛЯДНУЮ КАРТИНКУ ФОРМУЛЫ"!
Вы загнали её в автоматический решатель! Это разные вещи! Посмотреть ответ и подогнать под него своё решение - так делают, обычно, ИЗ-ЗА ЛЕНИ! Ну, или по какой другой причине. Решение Prokop'а тоже даёт верный результат: рассмотрите, в каких точках достигается равенство двойке и подставьте их в исходное неравенство. Prokop, venjar, pewpimkin Снимаю шляпу. Мне это уравнение оказалось не по зубам. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали: venjar |
||
Prokop |
|
|
Вечером, слегка потеряв концентрацию, я сделал предположение об отсутствии решений уравнения. Виноват.
Но здесь можно обойтись без графиков. Если учесть то, что в неравенстве [math]ab \leqslant \frac{1}{2}\left({{a^2}+{b^2}}\right)[/math] равенство достигается лишь при [math]a=b[/math], то в цепочке неравенств [math]{\sin x\cos 2x + \sin x\cos 6x +{{\cos}^2}x}\leqslant \frac{1}{2}\left({{{\sin}^2}x +{{\cos}^2}2x}\right) + \frac{1}{2}\left({{{\sin}^2}x +{{\cos}^2}6x}\right) +{\cos ^2}x = 1 + \frac{1}{2}\left({{{\cos}^2}2x +{{\cos}^2}6x}\right) \leqslant 2[/math] равенства возможны лишь при [math]\sin x = \cos 2x = \cos 6x[/math] [math]\left|{\cos 2x}\right| = \left|{\cos 6x}\right| = 1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mad_math, Uncle Fedor |
||
venjar |
|
|
Avgust писал(а): venjar, я ничего не говорю про сложность или легкость метода. Я советую просто всегда пользоваться таким современным благом, как построение графиков функций. Ибо в данной теме именно график позволил диаметрально противоположно изменить точку зрения на задачу: предполагали, что решений нет, а оказалось, что решения есть. Доказал же это аналитически, как сумел. Проблема сия не праздная. Лет 10 назад я проанализировал десятки тысяч школьных и студенческих решений и пришел к интереснейшему выводу: 4% кардинальных ошибок получаются только из-за лени строить наглядную картинку формулы. Согласен. График может подсказать даже направление решения. Я хотел сказать, что у школьника на контрольной или ЕГЭ нет возможности строить такие графики. Поэтому надо стараться пользоваться тем, что разрешено. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 15 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Решить уравнение уравнение с обособленными переменными
в форуме Дифференциальное исчисление |
2 |
308 |
17 май 2022, 21:03 |
|
Решить уравнение
в форуме Тригонометрия |
1 |
340 |
03 дек 2017, 13:33 |
|
Решить уравнение
в форуме Алгебра |
7 |
599 |
03 дек 2017, 20:53 |
|
Решить уравнение | 6 |
245 |
07 окт 2021, 13:09 |
|
Решить уравнение: x^5+y^5=az^5
в форуме Палата №6 |
2 |
538 |
06 ноя 2014, 13:20 |
|
Решить уравнение: x^3=ay^3+1
в форуме Палата №6 |
55 |
3405 |
04 ноя 2014, 11:55 |
|
Решить уравнение | 1 |
337 |
21 окт 2014, 09:12 |
|
Решить уравнение
в форуме Алгебра |
12 |
597 |
27 окт 2014, 20:09 |
|
Решить уравнение
в форуме Численные методы |
1 |
276 |
04 дек 2017, 16:24 |
|
Решить уравнение
в форуме Дифференциальное исчисление |
2 |
284 |
27 окт 2014, 14:40 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |