Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Помощь в решении тригонометрических уравнений
СообщениеДобавлено: 15 дек 2010, 23:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 дек 2010, 23:24
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужна помощь в решении тригонометрических уравнений

1) [math]2\sin{x}\cos{x}+3\cos^2x=\sin^2{x}[/math]

2) [math]\operatorname{tg}(4\pi-x)+\operatorname{ctg}\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}[/math]

3) [math]3\sin{x}+\sin3x=\sin2x[/math]

4) [math]\cos^2x+\sin{x}+1=0[/math]

Всем заранее спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Помощь в решении тригонометрических уравнений
СообщениеДобавлено: 16 дек 2010, 00:25 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 ноя 2010, 16:01
Сообщений: 153
Откуда: Rostov-on-Don
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
25 раз в 22 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) [math]2\sin{x} \cdot \cos{x}+3\cos^{2}x=\sin^{2}x[/math]

Уравнение однородное, делим обе части, например, на [math]\cos^{2}x,~\cos^{2}x \ne 0[/math]

Получаем:[math]2\operatorname{tg}x+3=\operatorname{tg}^{2}x[/math]

Делаем замену:[math]\operatorname{tg}x=t[/math]

Получаем обычное квадратное уравнение:

[math]t^2-2t-3=0 ~ \Rightarrow ~ D=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-3) = 16 ~ \Rightarrow ~ t_{1}=3; t_{2}=-1[/math]

[math]\operatorname{tg}x=3 ~ \Rightarrow ~ x = \operatorname{arctg}3 + \pi k, ~ k\in Z[/math]

[math]{\operatorname{tg}x=-1 ~ \Rightarrow ~ x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n, ~ n\in\mathbb{Z} ~ \Rightarrow ~ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, ~ n\in\mathbb{Z}}[/math]



2) [math]\operatorname{tg}(4\pi - x) + \operatorname{ctg}\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}[/math]

Воспользуемся формулами приведения и получим:

[math]{-\operatorname{tg}x - \operatorname{tg}x=\frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow -2\operatorname{tg}x=\frac{2}{\sqrt{3}} ~ \Rightarrow ~ \operatorname{tg}x=-\frac{1}{\sqrt{3}}}[/math]

[math]x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, ~ k\in Z[/math]



3) [math]3\sin{x}+\sin3x=\sin2x[/math]

[math]{3\sin{x}+\sin3x-\sin2x=0 ~ \Rightarrow ~ 3\sin{x}+3\sin{x} - 4\sin^3x-2\sin{x} \cdot \cos{x}=0}[/math]

Вытаскиваем [math]2\sin{x}[/math] за скобку:

[math]2\sin{x}(3-2\sin^2x-\cos{x})=0[/math]

[math]2\sin{x}=0 ~ \Rightarrow ~ \sin{x}=0 ~ \Rightarrow ~ x = \pi k, ~ k \in \mathbb{Z}[/math]

[math]1+2-2\sin^2x-\cos{x}=0 ~ \Rightarrow ~ 1+2\cos^2x-\cos{x}=0[/math]

Замена: [math]\cos{x}=t[/math]

[math]2t^2-t+1=0 ~ \Rightarrow ~ D<0 ~ \Rightarrow[/math] действительных корней нет



4) [math]{\cos^2x+\sin{x}+1=0 ~ \Rightarrow ~ 1 - \sin^2x+\sin{x}+1=0 \Rightarrow - \sin^2x+\sin{x}+2=0}[/math]

Замена: [math]\sin{x}=t, t \in [-1;1][/math]

[math]-t^2+t+2=0 ~\Rightarrow ~ t_{1}=-1; t_{2}=2[/math]

Второй корень не удовлетворяет, поэтому берем первый.

[math]\sin{x}=-1[/math]

[math]x=-\frac{\pi}{2} + 2\pi k,~k \in \mathbb{Z}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю paradise "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Ozone
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Помощь в решении

в форуме Дифференциальное исчисление

ody

11

541

16 дек 2015, 22:11

Помощь в решении

в форуме Интегральное исчисление

vitya2014

1

283

18 янв 2017, 06:10

Помощь в решении примера

в форуме Алгебра

Vlad7899

6

242

06 ноя 2021, 15:52

Ищу помощь в решении Множеств

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

kvarcevanie

3

283

29 сен 2014, 16:54

Помощь в решении примера

в форуме Алгебра

Vlad7899

5

226

31 окт 2021, 18:18

Помощь в решении задачи

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Ananas_282

3

410

08 окт 2021, 10:58

Помощь в решении задачи.

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

mtathored

19

616

27 окт 2014, 17:26

Помощь в решении задачи

в форуме Теория вероятностей

Annatomsk

1

264

26 июн 2023, 14:51

Помощь в решении задач по matlab

в форуме MATLAB

nikitaii22

3

380

12 ноя 2021, 07:53

Функциональный анализ - Помощь в решении

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

DEMP

2

397

07 апр 2014, 23:01


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved