Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Два способа решения тригенометрического неравенства
СообщениеДобавлено: 06 май 2013, 18:00 
Не в сети
Продвинутый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 май 2013, 16:20
Сообщений: 76
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решаю неравенство [math]\sin x + \cos x > - \sqrt 2[/math] двумя способами - получаю различные промежутки (ошибка по-любому во втором способе)
1)
[math]\begin{gathered}\sin x + \cos x > - \sqrt 2 \hfill \\ \frac{{\sqrt 2}}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2}}{2}\cos x > - 1\left|{\div \sqrt 2}\right. \hfill \\ \sin x\sin \frac{\pi}{4}+ \cos x\cos \frac{\pi}{4}> - 1 \hfill \\ \cos (x - \frac{\pi}{4}) > - 1 \hfill \\ - \pi + 2\pi n < x - \frac{\pi}{4}< \pi + 2\pi n,n \in \mathbb{Z}\hfill \\ - \frac{{3\pi}}{4}+ 2\pi n < x < \frac{{5\pi}}{4}+ 2\pi n,n \in \mathbb{Z}\hfill \\ x \ne \frac{{5\pi}}{4}+ 2\pi n,n \in \mathbb{Z}\hfill \\ \end{gathered}[/math]

2)
[math]\begin{gathered}\sin x + \cos x > - \sqrt 2 \hfill \\ \frac{{2tg\frac{x}{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{x}{2}}}+ \frac{{1 - t{g^2}\frac{x}{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{x}{2}}}+ \sqrt 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math], учитывая что [math]\begin{gathered}\cos \frac{x}{2}\ne 0 \hfill \\ \frac{x}{2}\ne \frac{\pi}{2}+ \pi n,n \in \mathbb{Z}\hfill \\ x \ne \pi + 2\pi n,n \in \mathbb{Z}\hfill \\ \end{gathered}[/math]
Для удобства введем переменную [math]tg\frac{x}{2}= t[/math], тогда уравнение принимает вид:
[math]\begin{gathered}\frac{{2t + 1 -{t^2}+ \sqrt 2 + \sqrt 2{t^2}}}{{1 +{t^2}}}> 0 \hfill \\ \frac{{{{(t + 1 + \sqrt 2 )}^2}}}{{1 +{t^2}}}> 0 \hfill \\{(t + 1 + \sqrt 2 )^2}> 0 \hfill \\ t \ne - (1 + \sqrt 2 ) \hfill \\ \left[ \begin{gathered}tg\frac{x}{2}< - (1 + \sqrt 2 ), \hfill \\ tg\frac{x}{2}> - (1 + \sqrt 2 ); \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left[ \begin{gathered}- \frac{\pi}{2}+ \pi n < \frac{x}{2}< - arctg(1 + \sqrt 2 ) + \pi n,n \in \mathbb{Z}, \hfill \\ - arctg(1 + \sqrt 2 ) + \pi k < \frac{x}{2}< \frac{\pi}{2}+ \pi k,k \in \mathbb{Z}; \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \left[ \begin{gathered}- \pi + 2\pi n < x < - 2arctg(1 + \sqrt 2 ) + 2\pi n,n \in \mathbb{Z}, \hfill \\ - 2arctg(1 + \sqrt 2 ) + 2\pi k < x < \pi + 2\pi k,k \in \mathbb{Z}; \hfill \\ \end{gathered}\right. \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Возвращаем [math]\pi + 2\pi n,n \in \mathbb{Z}[/math], получаем:
[math]x \ne - 2arctg(1 + \sqrt 2 ) + 2\pi n,n \in \mathbb{Z}[/math],
отсюда следует, что [math]- 2arctg(1 + \sqrt 2 ) = - \frac{{3\pi}}{4}[/math], что не верно. Где я заблуждаюсь?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два способа решения тригенометрического неравенства
СообщениеДобавлено: 06 май 2013, 19:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Верный ответ:

[math]x\ne \frac 54 \pi+2\pi n[/math]

то есть при [math]\sin \left (x+\frac{\pi}{4} \right )=-1[/math]

или [math]x+\frac{\pi}{4}=\frac{3}{2}\pi +2\pi n[/math]


Последний раз редактировалось Avgust 06 май 2013, 20:00, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два способа решения тригенометрического неравенства
СообщениеДобавлено: 06 май 2013, 20:00 
Не в сети
Продвинутый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 май 2013, 16:20
Сообщений: 76
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Верный ответ:

[math]x\ne \frac 54 \pi+2\pi n[/math]

то есть при [math]\sin \left (x+\frac{\pi}{4} \right )=-1[/math]


Я знаю, что этот ответ верный, мне нужно найти ошибку во втором варианте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два способа решения тригенометрического неравенства
СообщениеДобавлено: 06 май 2013, 20:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Второй вариант убогий. Я Вам показал второй вариант [math]\sin \left (x+\frac{\pi}{4} \right )>-1[/math]
Он проще и ясней диких арктангенсов.

Но учтите: Ваш ответ [math]x\ne -\frac 34 \pi+2\pi n[/math] - тот же самый, что и в первом варианте. Потому что

[math]-\frac 34+2=\frac 54[/math]

Так что два Ваших варианта совпадают.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два способа решения тригенометрического неравенства
СообщениеДобавлено: 06 май 2013, 20:35 
Не в сети
Продвинутый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 май 2013, 16:20
Сообщений: 76
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Вы меня не правильно поняли, я умею решать подобные неравенства путем ввода нового аргумента, и знаю, что данное неравенство правильно решено мной первым способом. Меня интересует, где ошибка во втором алгоритме решения, каким бы "убогим" он не был.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два способа решения тригенометрического неравенства
СообщениеДобавлено: 06 май 2013, 20:46 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще раз повторю: [math]-\frac 34 \pi +2\pi n[/math] и [math]\frac 54 \pi +2\pi n[/math] - это совершенно одинаковые ответы.
Вы правильно решили задачу обоими методами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два способа решения тригенометрического неравенства
СообщениеДобавлено: 06 май 2013, 20:53 
Не в сети
Продвинутый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 май 2013, 16:20
Сообщений: 76
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
второй вариант дал ответ: [math]x \ne - 2\operatorname{arctg}(1 + \sqrt 2 ) + 2\pi n,n \in \mathbb{Z}[/math], а не -[math]\frac 34 \pi +2\pi n[/math] и не [math]\frac 54 \pi +2\pi n[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Два способа решения тригенометрического неравенства
СообщениеДобавлено: 06 май 2013, 21:16 
Не в сети
Продвинутый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
06 май 2013, 16:20
Сообщений: 76
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разве что [math]\operatorname{arctg}(\sqrt 2 + 1) = \frac{3\pi}{8}[/math]

///действительно [math]\operatorname{arctg}(\sqrt 2 + 1) = \frac{3\pi}{8}[/math] = 1,1780972451...
// спасибо, моя проблема решена

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство для решения неравенства

в форуме Теория чисел

yuriy

25

1228

23 апр 2015, 18:52

Правильность решения логарифмического неравенства, C17

в форуме Алгебра

fixovugoh

1

249

08 апр 2015, 19:41

Метод решения показательного неравенства

в форуме Алгебра

user16

7

272

28 апр 2017, 21:02

Вывести на консоль массив в три способа

в форуме Информатика и Компьютерные науки

max_timokhin

0

194

16 апр 2017, 21:11

Подбор способа статистической обработки двух зависимых рядов

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Alexey8989

21

990

17 апр 2015, 22:35

Найдите частные решения уравненийНайдите частные решения ура

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

belke

0

174

20 окт 2021, 12:32

Неравенства

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Taulalan

11

540

20 окт 2022, 14:53

Неравенства

в форуме Алгебра

limbro

10

400

14 сен 2020, 17:01

Неравенства

в форуме Алгебра

juliana25

19

604

11 сен 2018, 18:04

Неравенства

в форуме Алгебра

Greecer

9

274

31 янв 2023, 19:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved