Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Треугольник вписан в прямоугольник
СообщениеДобавлено: 20 апр 2021, 14:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Такая задача придумалась в момент пробуждения. Наверное решения известны, но нигде не нашел:
Изображение

S - площадь прямоугольника.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник вписан в прямоугольник
СообщениеДобавлено: 20 апр 2021, 16:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На первый взгляд если принять [math]\angle BAC= \alpha[/math], то [math]S_{min}[/math] будет при [math]t=90^{\circ}[/math], а [math]S_{max}[/math] при [math]t=\frac{ 90^{\circ}+ \alpha }{ 2 }[/math].
Правда проверял только для прямоугольного треугольника :roll:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Avgust, michel
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник вписан в прямоугольник
СообщениеДобавлено: 20 апр 2021, 16:05 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача решается быстро, если считать, что заданы угол [math]\angle BAC= \alpha[/math] и его стороны b и с. Если обозначить через переменный параметр [math]\beta[/math] угол между нижней стороной прямоугольника и стороной b, то стороны прямоугольника можно сразу выразить через проекции b и с на соответствующие перпендикулярные прямые (пересекающиеся в точке А). Площадь прямоугольника будет равна [math]S=bc \cdot \cos \beta \cdot \sin( \alpha + \beta )=\frac{ 1 }{ 2 }bc \cdot \left( \sin( \alpha +2 \beta )-\sin \alpha \right)[/math]. Дифференцируя это выражение по [math]\beta[/math] и приравнивая его нулю, получаем [math]\beta =\frac{ 90^o- \alpha }{ 2 }[/math]. Это значение соответствует максимуму площади прямоугольника. Минимальная площадь получается при [math]\beta =0[/math], когда одна его сторона лежат на прямой b или с и будет равна просто удвоенной площади треугольника. Проверил измерением в Живой геометрии для произвольных треугольников.
В решении от Race угол [math]t=90^o- \beta[/math] совпадает с моим решением.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Avgust, Race
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник вписан в прямоугольник
СообщениеДобавлено: 20 апр 2021, 16:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, коллеги! Теперь, думаю, смогу вывести формулы для [math]S_{min}(a,b,c)[/math] и [math]S_{max}(a,b,c)[/math].

Надеюсь, что выражения получатся интересные!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник вписан в прямоугольник
СообщениеДобавлено: 20 апр 2021, 18:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я получил пока только максимум:

[math]S_{max}=bc\cdot \cos^2 \left [\frac 12 \arcsin \left ( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right ) \right ][/math]

или

[math]S_{max}=\frac 12 bc\left [1+\sqrt{1-\left (\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right )^2} \right ][/math]

[math]S_{max}=\frac{bc}{2}+\frac 14 \sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}[/math]


Коллеги! Хотелось бы, чтобы вы меня проверили численно. Правильно формулы бьют?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник вписан в прямоугольник
СообщениеДобавлено: 20 апр 2021, 19:21 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде правильно - для максимальной площади выходит [math]S_{max}=\frac{ bc(1+\sin \alpha ) }{ 2 }[/math], что совпадает с Вашей второй формулой.
Для минимальной площади получается [math]S_{min}=bc\sin \alpha[/math].

Поправка к предыдущему посту: площадь прямоугольника равна [math]S=\frac{ 1 }{ 2 }bc \cdot \left( \sin( \alpha +2 \beta )+\sin \alpha \right)[/math] (в посте выше поставил минус между синусами вместо плюса).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Треугольник вписан в прямоугольник
СообщениеДобавлено: 20 апр 2021, 21:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На веру принял выражение для минимальной площади и получил:

[math]S_{min}=\frac 12 \sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}[/math]

С точки зрения логики все отлично! Но верные ли числа получаются по формуле?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Прямоугольник вписан в другой прямоугольник. Найти размеры

в форуме Геометрия

Germm

5

1037

11 июл 2014, 10:39

В треугольник вписан полукруг

в форуме Геометрия

Violinist

19

876

16 апр 2018, 13:09

Остроугольный треугольник вписан в окружность

в форуме Геометрия

Igor kupryniuk

5

259

25 мар 2020, 17:17

В окружность вписан треугольник. Вычисление углов

в форуме Геометрия

pg_

2

245

11 апр 2016, 11:25

Треугольник вписан в треугольник

в форуме Геометрия

Avgust

2

339

27 мар 2021, 02:05

Прямоугольник максим.площади, впис.в равнобедр. треугольник

в форуме Алгебра

Pavel_Kotoff

4

324

04 дек 2018, 22:14

Выбрать прямоугольник для вписывания в другой прямоугольник

в форуме Геометрия

Rest

7

879

25 авг 2015, 12:17

Цилиндр вписан в шар

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

KennyFoxy

2

299

09 дек 2018, 21:39

Ромб вписан в параллелограмм

в форуме Геометрия

B0RN2BFREE

27

1047

21 авг 2019, 00:03

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка P лежит на с

в форуме Геометрия

nikpir

1

139

02 дек 2019, 21:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved