Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Avgust |
|
|
S - площадь прямоугольника. |
||
Вернуться к началу | ||
Race |
|
|
На первый взгляд если принять [math]\angle BAC= \alpha[/math], то [math]S_{min}[/math] будет при [math]t=90^{\circ}[/math], а [math]S_{max}[/math] при [math]t=\frac{ 90^{\circ}+ \alpha }{ 2 }[/math].
Правда проверял только для прямоугольного треугольника |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: Avgust, michel |
||
michel |
|
|
Задача решается быстро, если считать, что заданы угол [math]\angle BAC= \alpha[/math] и его стороны b и с. Если обозначить через переменный параметр [math]\beta[/math] угол между нижней стороной прямоугольника и стороной b, то стороны прямоугольника можно сразу выразить через проекции b и с на соответствующие перпендикулярные прямые (пересекающиеся в точке А). Площадь прямоугольника будет равна [math]S=bc \cdot \cos \beta \cdot \sin( \alpha + \beta )=\frac{ 1 }{ 2 }bc \cdot \left( \sin( \alpha +2 \beta )-\sin \alpha \right)[/math]. Дифференцируя это выражение по [math]\beta[/math] и приравнивая его нулю, получаем [math]\beta =\frac{ 90^o- \alpha }{ 2 }[/math]. Это значение соответствует максимуму площади прямоугольника. Минимальная площадь получается при [math]\beta =0[/math], когда одна его сторона лежат на прямой b или с и будет равна просто удвоенной площади треугольника. Проверил измерением в Живой геометрии для произвольных треугольников.
В решении от Race угол [math]t=90^o- \beta[/math] совпадает с моим решением. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Avgust, Race |
||
Avgust |
|
|
Спасибо, коллеги! Теперь, думаю, смогу вывести формулы для [math]S_{min}(a,b,c)[/math] и [math]S_{max}(a,b,c)[/math].
Надеюсь, что выражения получатся интересные! |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Я получил пока только максимум:
[math]S_{max}=bc\cdot \cos^2 \left [\frac 12 \arcsin \left ( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right ) \right ][/math] или [math]S_{max}=\frac 12 bc\left [1+\sqrt{1-\left (\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right )^2} \right ][/math] [math]S_{max}=\frac{bc}{2}+\frac 14 \sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}[/math] Коллеги! Хотелось бы, чтобы вы меня проверили численно. Правильно формулы бьют? |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: Race |
||
michel |
|
|
Вроде правильно - для максимальной площади выходит [math]S_{max}=\frac{ bc(1+\sin \alpha ) }{ 2 }[/math], что совпадает с Вашей второй формулой.
Для минимальной площади получается [math]S_{min}=bc\sin \alpha[/math]. Поправка к предыдущему посту: площадь прямоугольника равна [math]S=\frac{ 1 }{ 2 }bc \cdot \left( \sin( \alpha +2 \beta )+\sin \alpha \right)[/math] (в посте выше поставил минус между синусами вместо плюса). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Avgust |
||
Avgust |
|
|
На веру принял выражение для минимальной площади и получил:
[math]S_{min}=\frac 12 \sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}[/math] С точки зрения логики все отлично! Но верные ли числа получаются по формуле? |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |