Трапеция. Формулы площадей

Вывел несколько интересных формул площадей в составе трапеции:


1) Известны [math]\,\,S_1\,,\,S_2[/math]

Площадь трапеции: [math]\quad S_t=\left (\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}\right )^2[/math]

[math]\qquad \qquad S_3=\frac 12 \bigg [ \left (\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}\right )^2-S_1-S_2 \bigg ][/math]

------------------------------------------------------------------------------------
2) Известны [math]\,\,S_t\,,\,S_1[/math]

[math]\quad S_2=S_t+S_1-2\sqrt{S_t\,S_1}[/math]

------------------------------------------------------------------------------------
2) Известны [math]\,\,S_t\,,\,S_2[/math]

[math]\quad S_1=S_t+S_2-2\sqrt{S_t\,S_2}[/math]

Таких формул нигде не встречал.
Хотя искал поверхностно, в основном по картинкам, статьям, в Википедии на всех языках.
Формулы довольно красивые, оригинальные и наверняка полезные при решении задач.

В учебнике геометрии для 7-9 классов Атанасяна, Бутузова есть задачи, где эти формулы выводятся. В заданиях ОГЭ и ЕГЭ также встречались задачи на расчёт площадей трапеций по известным площадям треугольников [math]S_1[/math] и [math]S_2[/math].

michel, в задачах - это понятно! Но там же, ясное дело, - только частные численные случаи. Это все равно, что давать частную задачу для прямоугольного треугольника и каждый раз доказывать теорему Пифагора.
У меня получились формулы общего типа. Упомянутые Вами частные задачи наверняка относятся к повышенной трудности, поскольку приходится использовать довольно хитрый прием, связанный с тем, что линейные размеры по горизонтали и вертикали пропорциональны корню из площади (причем эти два коэффициента пропорциональности разные!)
Выведенные и помещенные выше общие формулы такие задачи моментально понижают до уровня легких. Точно так же как мы в тысячах случаев пользуемся доказанной теоремой нашего, так сказать, Пифагора (или теоремами Стюарта, Фалеса и т.д.).

Кстати, мой случай 1) вполне может трактоваться, как Теорема. Потому что доказана для любой трапеции. И формула-то какая красивая!

Вывод формулы поместил в своей миниатюре по ссылке https://proza.ru/2021/02/15/1853

Интересно: кто-нибудь такую задачу решит?
Найти вариант, в котором отрезки [math]a, b, c, d, g, v[/math] имеют целочисленные значения.

Применил метод Монте-Карло (он оказался быстрее, нежели перебор вариантов).
Помимо размеров 40 и 90 рассматривал иные значения. Многие из пар чисел не давали решений.
Удалось только получить при 55 и 90, а также при 40 и 60. Перепробовал около пятнадцати пар.
Быстренько построил циркулем и линейкой трапеции, все совпало! Ошибок в расчетах, значит, нет.
В спойлере прилагаю текст проги для 40 и 60.





Что интересно, если решение есть, то оно ЕДИНСТВЕННОЕ!
Площади треугольников элементарно находятся по формуле Герона.