Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Трапеция. Формулы площадей
СообщениеДобавлено: 16 фев 2021, 08:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12611
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1117
Спасибо получено:
3513 раз в 3082 сообщениях
Очков репутации: 659

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вывел несколько интересных формул площадей в составе трапеции:
Изображение

1) Известны [math]\,\,S_1\,,\,S_2[/math]

Площадь трапеции: [math]\quad S_t=\left (\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}\right )^2[/math]

[math]\qquad \qquad S_3=\frac 12 \bigg [ \left (\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}\right )^2-S_1-S_2 \bigg ][/math]

------------------------------------------------------------------------------------
2) Известны [math]\,\,S_t\,,\,S_1[/math]

[math]\quad S_2=S_t+S_1-2\sqrt{S_t\,S_1}[/math]

------------------------------------------------------------------------------------
2) Известны [math]\,\,S_t\,,\,S_2[/math]

[math]\quad S_1=S_t+S_2-2\sqrt{S_t\,S_2}[/math]

Таких формул нигде не встречал.
Хотя искал поверхностно, в основном по картинкам, статьям, в Википедии на всех языках.
Формулы довольно красивые, оригинальные и наверняка полезные при решении задач.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция. Формулы площадей
СообщениеДобавлено: 16 фев 2021, 09:11 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5894
Cпасибо сказано: 165
Спасибо получено:
2155 раз в 1994 сообщениях
Очков репутации: 309

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В учебнике геометрии для 7-9 классов Атанасяна, Бутузова есть задачи, где эти формулы выводятся. В заданиях ОГЭ и ЕГЭ также встречались задачи на расчёт площадей трапеций по известным площадям треугольников [math]S_1[/math] и [math]S_2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция. Формулы площадей
СообщениеДобавлено: 16 фев 2021, 09:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12611
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1117
Спасибо получено:
3513 раз в 3082 сообщениях
Очков репутации: 659

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel, в задачах - это понятно! Но там же, ясное дело, - только частные численные случаи. Это все равно, что давать частную задачу для прямоугольного треугольника и каждый раз доказывать теорему Пифагора.
У меня получились формулы общего типа. Упомянутые Вами частные задачи наверняка относятся к повышенной трудности, поскольку приходится использовать довольно хитрый прием, связанный с тем, что линейные размеры по горизонтали и вертикали пропорциональны корню из площади (причем эти два коэффициента пропорциональности разные!)
Выведенные и помещенные выше общие формулы такие задачи моментально понижают до уровня легких. Точно так же как мы в тысячах случаев пользуемся доказанной теоремой нашего, так сказать, Пифагора (или теоремами Стюарта, Фалеса и т.д.).

Кстати, мой случай 1) вполне может трактоваться, как Теорема. Потому что доказана для любой трапеции. И формула-то какая красивая!

Вывод формулы поместил в своей миниатюре по ссылке https://proza.ru/2021/02/15/1853

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция. Формулы площадей
СообщениеДобавлено: 18 фев 2021, 01:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12611
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1117
Спасибо получено:
3513 раз в 3082 сообщениях
Очков репутации: 659

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интересно: кто-нибудь такую задачу решит?
Найти вариант, в котором отрезки [math]a, b, c, d, g, v[/math] имеют целочисленные значения.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция. Формулы площадей
СообщениеДобавлено: 18 фев 2021, 17:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 12611
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1117
Спасибо получено:
3513 раз в 3082 сообщениях
Очков репутации: 659

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Применил метод Монте-Карло (он оказался быстрее, нежели перебор вариантов).
Помимо размеров 40 и 90 рассматривал иные значения. Многие из пар чисел не давали решений.
Удалось только получить при 55 и 90, а также при 40 и 60. Перепробовал около пятнадцати пар.
Быстренько построил циркулем и линейкой трапеции, все совпало! Ошибок в расчетах, значит, нет.
В спойлере прилагаю текст проги для 40 и 60.

Изображение

f0=40:u0=60
open #2,"trap4060.txt","w"
for p11=1 to 28000000
c=int(ran()*60):d=int(ran()*80)
d1=int(ran()*70):d2=int(ran()*100)
k1=(c^2-d1^2)^2
k2=(d^2-d2^2)^2
k3=c^2-d^2+d1^2-d2^2
k4=(c^2-d2^2)^2
k5=(d^2-d1^2)^2
k6=c^2-d^2-d1^2+d2^2
if (k1-k2)/k3>0 then
if (k4-k5)/k6>0 then
a=sqrt((k1-k2)/k3/2)
if a=int(a) then
b=sqrt((k4-k5)/k6/2)
if b=int(b) then
if d1^2+d2^2=2*a*b+c^2+d^2 then
if b-c-d<a then
if b>a then
if d+d1>b then
if d1>d-b then
rem --------------------------
t=0:k=0
for i=2 to 10
if a/i=int(a/i) then t=t+1:fi
if b/i=int(b/i) then t=t+1:fi
if c/i=int(c/i) then t=t+1:fi
if d/i=int(d/i) then t=t+1:fi
if d1/i=int(d1/i) then t=t+1:fi
if d2/i=int(d2/i) then t=t+1:fi
if t=6 then k=6:fi
t=0
next i
rem --------------------------
if k<>6 then
f1=b*d1/(a+b):f2=b*d2/(a+b)
if f1=f0 then
if f2=u0 then
s=s+1
print s,a,b,c,d,d1,d2,f1,f2
print #2,s,a,b,c,d,d1,d2,f1,f2
end
fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi
next p11


Что интересно, если решение есть, то оно ЕДИНСТВЕННОЕ!
Площади треугольников элементарно находятся по формуле Герона.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычисление площадей

в форуме Интегральное исчисление

overkill21

1

311

23 июн 2014, 18:03

Вычисление площадей

в форуме Интегральное исчисление

overkill21

1

331

04 май 2014, 21:05

Отношение площадей

в форуме Геометрия

sfanter

0

243

13 окт 2014, 10:37

Сумма площадей

в форуме Геометрия

FEBUS

4

169

30 ноя 2019, 23:12

Умножение площадей

в форуме Алгебра

Amarillis

1

579

23 мар 2014, 06:09

Метод площадей

в форуме Геометрия

bubateh

1

344

15 июн 2015, 17:53

Вычисления площадей

в форуме Интегральное исчисление

daniil95

1

249

08 июн 2014, 00:22

Равны ли суммы площадей?

в форуме Геометрия

never-sleep

2

396

23 май 2012, 01:46

Задача на отношение площадей

в форуме Геометрия

Flutt1

1

199

26 окт 2017, 23:48

Проблема с вычислением площадей

в форуме Интегральное исчисление

olegsh1971

8

427

28 май 2014, 00:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved