Доказать, что ортогональные проекции вершин н-мерного куба

Приветствую знатоков аналитической геометрии. В данный момент в моем учебном заведении проходит курс дифференциальной геометрии, к сожалению, в дистанционном формате в полной мере невозможно освоить все аспекты данной науки, особенно учитывая то, что курс "алгебры и геометрии" был в далеком первом году обучения. Поэтому без интернета не обойтись. В контрольной работе задали задачу, ладно бы она еще была одной из тех, что мы приблизительно разбирали, где можно найти гайд, разобрать, посчитать, но, к моему несчастью, мне попалась теоретическая задача на доказательство. И тут я в полном ступоре, не знаю даже с чего начать, как вести доказательство, чем руководствоваться. Поэтому буду благодарен любым наводкам, ссылкам, указаниям, подсказкам и т.д. Сама задача:
"Докажите, что ортогональные проекции вершин n-мерного куба на любую большую диагональ этого куба делят ее на n равных частей. Указание. Рассмотрите проекции радиус-векторов вершин на вектор – большую диагональ, выходящий из начала координат". Может быть уже есть доказательство в английских источниках?

Это расчётная задача. И указание, как делать, вам уже дано:

Если сразу сложно решить, потренируйтесь на трёхмерном единичном кубе. Для начала возьмите какую-то вершину и вычислите её проекцию на большую диагональ.

А не подскажете формулу, по которой вычислять? Я загуглил, конечно, и вроде нашел знакомую формулу, но в обсуждении задачи как-то возникла речь про углы и теперь я сомневаюсь, какую из формул брать, там где присутствует угол, или там где его нет, попытался копнуть глубже, только запутался.

Хорошо, что я в обсуждении не участвовал и про углы ничего не знал. Кроме того, и формул из курса аналитической геометрии особо не помнил. Я рассуждал так. Возьмём единичный куб [math][0,1]^n[/math] . Координаты его вершин будут сугубо нули и единицы. Возьмём главную диагональ куба в виде [math]\left\{ \lambda, \lambda,..., \lambda \right\}[/math] , где [math]\lambda \in [0,1][/math] . Вычислим квадрат расстояния от произвольной точки этой диагонали до какой-то вершины, допустим [math]\left\{ 0,0,...,0,1.,...,1 \right\}[/math] (порядок следования единиц и нулей тут не важен). Дальше открываем оффтопик из моего предыдущего поста.

Про куб я также размышлял, про 1 и 0 тоже, но не совсем понял про вашу функцию в оффтопе. Например, для 3 мерного случая проекции (если брать по формуле <a,b>/|b|) получается 3 группы результатов: 1/[math]1\sqrt{3}[/math], 2/[math]1\sqrt{3}[/math], 3/[math]1\sqrt{3}[/math]. Это и значит, что проекции разбили диагональ на 3 части? И мне просто расширить это на n-мерный случай или как?

Если что-то не поняли про мою функцию, то спрашивайте. Там суть в том, что точка минимума этой функции - это и есть проекция. Лично я не понял ваш вопрос вообще. У меня ваша формула не использовалась. Поэтому абсолютно не понял слово "например".

Если решили так, то и хорошо. Расширяйте.

Ну я имею ввиду, если посчитать проекции радиус векторов вершин на диагональ по этой формуле, в случае 3 мерного куба, расположенного на осях, ребра длины 1. Но я не уверен, что эта формула работает в данном случае и что так и нужно решать задачу.

А я понял так, что этот пример в котором у вас возникли непонятки с моей формулой.

А вы попробуйте.

Я имею ввиду формула проекции, не ваша

searcher, отличное решение