Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Вписать треугольник в окружность
СообщениеДобавлено: 13 авг 2020, 15:00 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS писал(а):
Бессмысленный разговор. Мне всё понятно.

Уж очень не понятна эта ваша позиция. В одних задачах Вы пишете " знаю решение, но не скажу", в других не признаете чужое достоверное решение.
Я вот тоже не могу понять доказательства выложенного Race и Gintoki решения, но в том , что способ который они описали является решением, сомнений быть не может. Это же можно легко проверить .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать треугольник в окружность
СообщениеДобавлено: 13 авг 2020, 21:45 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6078
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
1033 раз в 976 сообщениях
Очков репутации: 67

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почему эта ерунда не в шестой палате?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать треугольник в окружность
СообщениеДобавлено: 14 авг 2020, 00:59 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM писал(а):
Почему эта ерунда не в шестой палате?

Потому что задача интересная, причем настолько интересная, что не каждый способен ее оценить :) . Решение найдено, но не доказано.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать треугольник в окружность
СообщениеДобавлено: 14 авг 2020, 01:00 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 июл 2020, 18:09
Сообщений: 227
Откуда: Владикавказ, Россия
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
50 раз в 45 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Glotov1 писал(а):
MihailM писал(а):
Почему эта ерунда не в шестой палате?

Потому что задача интересная, причем настолько интересная, что не каждый способен ее оценить :) . Решение найдено, но не доказано.

А чем вам мое доказательство не понравилось?
Которое было вот это:
Gintoki-_- писал(а):
{Если будет не лень, то ща нормально докажу все нужное}

Так вот, поехали...

Итак, начнём с того, что можно пок-ть, что при проективаном соответствии окружности на себя{или как там}, если мы знаем 3 точки и их образы, то гармонически сопряжённая к какой-то из них относительно двух других также переходит в гармонически сопряженную. Таким образом находя гармонически сопряжённые мы можем получить всюду плотное множество точек и в силу непрерывности понять, что существует единственное проективное соответствие переводящее данные 3 точки в данные из образы {Можно прочитать в любом учебнике, а я матанализ знаю плохо и не очень помню все это, но, надеюсь, правильно все сказал}

Изображение
Пусть у нас дана наша окружность α и три точки A, B, C(в данном случае бесконечно удалённая), мы хотим найти неподвижные точки отображения BCA. Для этого возьмём произвольные 3 точки[(1),(2),(3)] на окружности, подействуем на них BCA, получим 3 других точки[(1'),(2'),(3')].

Далее, строим конструкцию теоремы Паскаля для точек {(1),(2),(3),(1'),(2'),(3')}[см.рис], получаем прямую β. Пусть она пересекает окружность α в точках (4) и (5)[могут совпадать, могут и не существовать(тогда решений нет)].

Далее, обозначим перспективные соответствия с центрами (1) и (1'), устанавливающие соответствия между точками окружности α и точками прямой β, как (1) и (1') соответственно.

(1) и (1') оставляют неподвижными точки (4) и (5), значит их композиция (1)(1') также оставляет точки (4) и (5) неподвижными. [Причем если бы была ещё хотя бы одна неподвижная точка, то мы бы имели 3 неподвижные точки и по сказанному в абзаце 1{можно пок-ть, что гармонически сопряжённая переходит в гармонически сопряжённую} имели бы, что точки окружности неподвижны, что не так]

Заметим, что (1)(1') переводит (1) в (1')[проведём прямую через (1) и (1') и станет очевидно], также переводит (2) в (2') и (3) в (3') [видно из построения прямой β]
Таким образом имеем 3 точки и их образы, по сказанному в абзаце 1 понимаем, что (1)(1')=BCA, а значит неподвижные точки (1)(1'), а именно (4) и (5), совпадают с неподвижными точками BCA. Ч.т.д.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать треугольник в окружность
СообщениеДобавлено: 14 авг 2020, 01:10 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gintoki-_- писал(а):
Glotov1 писал(а):
MihailM писал(а):
Почему эта ерунда не в шестой палате?

Потому что задача интересная, причем настолько интересная, что не каждый способен ее оценить :) . Решение найдено, но не доказано.

А чем вам мое доказательство не понравилось?

Не так сформулировал. Лично я еще не разобрался с доказательством, но в том, что метод работает железно , я убедился .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать треугольник в окружность
СообщениеДобавлено: 14 авг 2020, 01:24 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 июл 2020, 18:09
Сообщений: 227
Откуда: Владикавказ, Россия
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
50 раз в 45 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Glotov1 писал(а):
Gintoki-_- писал(а):
Glotov1 писал(а):
MihailM писал(а):
Почему эта ерунда не в шестой палате?

Потому что задача интересная, причем настолько интересная, что не каждый способен ее оценить :) . Решение найдено, но не доказано.

А чем вам мое доказательство не понравилось?

Не так сформулировал. Лично я еще не разобрался с доказательством, но в том, что метод работает железно , я убедился .

Попытаюсь понаписать чего-нибудь, что, возможно, вам может помочь при понимании док-ва:

Ну, моё док-во основано на так называемой "основной теоремой проективной геометрии" только для кон сечения (не уверен с названием теоремы), но док-во этой теоремы тоже самое

Насчёт того почему вообще верна теорема Паскаля, то если говорить про отображения кон сечения на себя, то можно легко понять, что эти 3 отображения коммутируют, а значит должны иметь общий соединяющий элемент, которых для двух отображений выступает в роли прямой их соединяющей, таким образом эти три точки должны лежать на одной прямой. (Если что-то не понятно, то рекомендую книжку Бахмана "построение геометрии на основе понятия симметрии")

Ну, и теперь само решение, мы брали 3 точки, подействовали на них по очереди 3 данными отображениями(применили их композицию), получили 3 другие точки, используя их и исходные строилась прямая Паскаля. Далее, даже взглянув на рис можно понять [см. Решение], что существует какая-то композиция отображений действующая на наши 3 точки также, как и нужная нам. Тогда по "основной теореме ПГ"(или как её) эти отображения совпадают, а значит и их неподвижные точки совпадают, которые являются точками пересечения нашего кон сечения и прямой Паскаля.

[Как-то так, надеюсь, стало яснее...]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать треугольник в окружность
СообщениеДобавлено: 14 авг 2020, 04:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Полученная прямая называется "ось проецирования". Что бы почитать теорию, надо найти нормальный учебник ПГ, чего мне пока не удалось. Причем тройка точек будет коллинеарной всегда, но далеко не всегда пересечёт проекционную конику.
Данная задача вдвойне интересна тем, что примененный метод даёт строгое геометрическое решение не только задачи вписания ломаной в конику, но и вписания ломаной в многоугольник, а так же позволяет определить точки пересечения коники, заданной 5 точками и прямой, без определения вида коники, причём более экономичным способом, если сравнивать с классическим методом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать треугольник в окружность
СообщениеДобавлено: 18 авг 2020, 15:36 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 июл 2020, 18:09
Сообщений: 227
Откуда: Владикавказ, Россия
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
50 раз в 45 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gintoki-_- писал(а):
Gintoki-_- писал(а):
{Если будет не лень, то ща нормально докажу все нужное}

Так вот, поехали...

Итак, начнём с того, что можно пок-ть, что при проективаном соответствии окружности на себя{или как там}, если мы знаем 3 точки и их образы, то гармонически сопряжённая к какой-то из них относительно двух других также переходит в гармонически сопряженную. Таким образом находя гармонически сопряжённые мы можем получить всюду плотное множество точек и в силу непрерывности понять, что существует единственное проективное соответствие переводящее данные 3 точки в данные из образы {Можно прочитать в любом учебнике, а я матанализ знаю плохо и не очень помню все это, но, надеюсь, правильно все сказал}

Изображение
Пусть у нас дана наша окружность α и три точки A, B, C(в данном случае бесконечно удалённая), мы хотим найти неподвижные точки отображения BCA. Для этого возьмём произвольные 3 точки[(1),(2),(3)] на окружности, подействуем на них BCA, получим 3 других точки[(1'),(2'),(3')].

Далее, строим конструкцию теоремы Паскаля для точек {(1),(2),(3),(1'),(2'),(3')}[см.рис], получаем прямую β. Пусть она пересекает окружность α в точках (4) и (5)[могут совпадать, могут и не существовать(тогда решений нет)].

Далее, обозначим перспективные соответствия с центрами (1) и (1'), устанавливающие соответствия между точками окружности α и точками прямой β, как (1) и (1') соответственно.

(1) и (1') оставляют неподвижными точки (4) и (5), значит их композиция (1)(1') также оставляет точки (4) и (5) неподвижными. [Причем если бы была ещё хотя бы одна неподвижная точка, то мы бы имели 3 неподвижные точки и по сказанному в абзаце 1{можно пок-ть, что гармонически сопряжённая переходит в гармонически сопряжённую} имели бы, что точки окружности неподвижны, что не так]

Заметим, что (1)(1') переводит (1) в (1')[проведём прямую через (1) и (1') и станет очевидно], также переводит (2) в (2') и (3) в (3') [видно из построения прямой β]
Таким образом имеем 3 точки и их образы, по сказанному в абзаце 1 понимаем, что (1)(1')=BCA, а значит неподвижные точки (1)(1'), а именно (4) и (5), совпадают с неподвижными точками BCA. Ч.т.д.


Что-то на форуме (геометрии) ничего не происходит и мне особо нечего было делать, а потому я сделал анимированный рисунок к своему решению...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Gintoki-_- "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Вписать треугольник в окружность
СообщениеДобавлено: 18 авг 2020, 16:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gintoki-_-
Очень красиво, только для полноты можно было и второй треугольник добавить)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписать треугольник в окружность
СообщениеДобавлено: 18 авг 2020, 16:07 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
11 июл 2020, 18:09
Сообщений: 227
Откуда: Владикавказ, Россия
Cпасибо сказано: 65
Спасибо получено:
50 раз в 45 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
Gintoki-_-
Очень красиво, только для полноты можно было и второй треугольник добавить)

Спасибо... Можно было, но я не стал, т.к. с одной стороны было бы, наверное, слишком нагроможденно, во-вторых большую часть я делал с телефона, поэтому я намучался прописывать "if"ы[чтобы нормально работало при любом положении A, B, C]. (Хотя для второго ∆ можно было и скопировать)

А ПК мой ужасно работает и я на нем несколько часов добавлял эти обозначения к точкам, кнопки и прочее.[а с телефона в онлайн геогебре у меня почему-то добавляет постоянно лишние символы и поэтому нормально ничего сделать нельзя]

Тем более рисунок больше к моему решению, чем к задаче

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.  Страница 4 из 5 [ Сообщений: 42 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вписать треугольник в окружность

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

dowebafu

2

884

10 июн 2014, 22:28

В треугольник вписать подобный ему треугольник

в форуме Геометрия

ferma-T

6

344

26 апр 2021, 19:55

Вписать окружность между точкой на прямой и окружностью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

SXC

10

655

04 окт 2015, 11:15

Вписать треугольник

в форуме Геометрия

Race

12

1063

19 фев 2020, 20:43

Задано квадрат. Вписать в него равносторонний треугольник

в форуме Геометрия

IvanSavkiv

3

382

16 июн 2018, 16:42

Вписать окружность с центром на прямой между дугой и прямой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

SXC

2

323

22 дек 2016, 01:42

Треугольник и окружность

в форуме Геометрия

encoder

9

580

16 окт 2014, 16:18

Треугольник и окружность

в форуме Геометрия

dyadra

2

178

01 май 2019, 14:55

Треугольник и окружность

в форуме Геометрия

kirya

10

356

21 май 2020, 13:37

В треугольник ABC вписана окружность

в форуме Геометрия

Nastya Way

1

1031

22 июн 2015, 15:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ferma-T и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved