Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Остроугольный треугольник вписан в окружность
СообщениеДобавлено: 25 мар 2020, 17:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
24 янв 2020, 15:47
Сообщений: 96
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: -4

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Точка О - центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая BO вторично пересекает описанную окружность в точке D, а продолжение высоты, опущенной из вершины A, пересекает окружность в точке E.
а) Покажите, что DE = AC.
б) Пусть P - точка пересечения DE и BC. Покажите, что sin(DPC) = sin(ACB).
в) Докажите, что площадь четырехугольника BECD равна площади треугольника ABC.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Остроугольный треугольник вписан в окружность
СообщениеДобавлено: 25 мар 2020, 19:47 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а) Дуга ВЕ плюс дуга АС в сумме 180 г. С другой стороны, ВЕ + ДЕ = 180 г. Значит дуги АС и ДЕ равны, значит и стягивающие хорды тоже равны.
б) Угол DPC равен полусумме дуг ВЕ и DC, т.е. (180-ЕС)/2. Угол АСВ = (180-AD)/2. Т.о. эти углы равны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Остроугольный треугольник вписан в окружность
СообщениеДобавлено: 26 мар 2020, 13:15 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача очень просто решается методом дополнительных построений.
Отразим треугольник АВС относительно перпендикуляра к АЕ проходящего через середину АЕ . Получим треугольник DGE. F - точка пересечения АС и срединного перпендикуляра к АЕ.
а) DE является отражением АС, поэтому они равны.
б) ОF параллелен СВ по выполненному построению, CF и PF симметричны относительно перпендикуляра к OF, поэтому тр-к FPC равнобедренный, откуда следует равенство углов уг.DPC= уг.ACВ
в) Площадь АВС равна половине АС*CВ*sin АСВ, а площадь BECD равна половине DE*CВ*sinFPC. Ранее доказано равенство углов АСВ и FPC, а равенство соответственных отрезков следует из симметрии. Поэтому АВС и BECD равны по площади.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Glotov1 "Спасибо" сказали:
chebo
 Заголовок сообщения: Re: Остроугольный треугольник вписан в окружность
СообщениеДобавлено: 26 мар 2020, 15:17 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Glotov1 писал(а):
а) DE является отражением АС, поэтому они равны.

Ну, вообще говоря, то, что точка [math]C[/math] переходит в точку [math]D[/math] по-хорошему-то надо ещё доказать...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Остроугольный треугольник вписан в окружность
СообщениеДобавлено: 26 мар 2020, 15:45 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
05 мар 2020, 19:49
Сообщений: 298
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
137 раз в 107 сообщениях
Очков репутации: 47

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo писал(а):
Glotov1 писал(а):
а) DE является отражением АС, поэтому они равны.

Ну, вообще говоря, то, что точка [math]C[/math] переходит в точку [math]D[/math] по-хорошему-то надо ещё доказать...

Я предполагал, что это следует из тогo, что осью отображения мы назначили линию , проходящую через О и середину АЕ, то есть, диаметр. Любая точка на окружности , будучи симметрично отбраженной отностиельно какого-либо диаметра, лежит на той же окружности и на одном перпендикуляре к диаметру вместе со своим прообразом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Остроугольный треугольник вписан в окружность
СообщениеДобавлено: 26 мар 2020, 16:00 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Glotov1 писал(а):
Любая точка на окружности , будучи симметрично отбраженной отностиельно какого-либо диаметра...
Да, но почему именно в [math]D[/math] попадет? Это, конечно, не сложно показать, но не показано :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
В окружность вписан треугольник. Вычисление углов

в форуме Геометрия

pg_

2

245

11 апр 2016, 11:25

Остроугольный треугольник

в форуме Геометрия

Lovemath

4

433

08 мар 2015, 22:29

Сложить остроугольный треугольник

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Xenia1996

9

113

11 мар 2024, 00:52

Остроугольный треугольник, медиана, высота

в форуме Геометрия

StupMath

1

450

15 май 2021, 19:31

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка P лежит на с

в форуме Геометрия

nikpir

1

139

02 дек 2019, 21:33

Треугольник вписан в прямоугольник

в форуме Геометрия

Avgust

6

303

20 апр 2021, 14:02

В треугольник вписан полукруг

в форуме Геометрия

Violinist

19

876

16 апр 2018, 13:09

Треугольник вписан в треугольник

в форуме Геометрия

Avgust

2

339

27 мар 2021, 02:05

Треугольник и окружность

в форуме Геометрия

dyadra

2

178

01 май 2019, 14:55

Треугольник и окружность

в форуме Геометрия

encoder

9

580

16 окт 2014, 16:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved