Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачка на четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 28 фев 2020, 23:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 фев 2020, 10:46
Сообщений: 36
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
14 раз в 12 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
"Известно, что в четырёхугольник можно вписать окружность и вокруг него же можно описать окружность. Доказать, что центры этих окружностей и точка пересечения диагоналей четырёхугольника лежат на одной прямой."
Никак не получается решить в общем случае.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 01 мар 2020, 18:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1765
Cпасибо сказано: 413
Спасибо получено:
308 раз в 288 сообщениях
Очков репутации: 46

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интересный факт, отрезок соединяющий середины диагоналей пройдет через центр вписанной окружности.
Интересны факт №2, если построить вписанный четырехугольник с вершинами в точках касания заданного к вписанной, то его диагонали пересекутся в той же точке что и диагонали заданного, а его центр тяжести будет коллинеарным с тройкой точек, причем он разделит отрезок от точки пересечения диагоналей заданного до центра вписанной на 2 равные части.

Про доступные в википедии факты не буду писать, захотите, сами почитаете.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 21 мар 2020, 22:30 
В сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 271
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
55 раз в 47 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kitonum писал(а):
"Известно, что в четырёхугольник можно вписать окружность и вокруг него же можно описать окружность. Доказать, что центры этих окружностей и точка пересечения диагоналей четырёхугольника лежат на одной прямой."
Никак не получается решить в общем случае.

Вопрос ещё актуальный?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 21 мар 2020, 22:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 фев 2020, 10:46
Сообщений: 36
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
14 раз в 12 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo писал(а):
Вопрос ещё актуальный?

Да.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 22 мар 2020, 00:34 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 900
Cпасибо сказано: 137
Спасибо получено:
464 раз в 384 сообщениях
Очков репутации: 91

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это свойство имеет любой вписанно-описанный многоугольник с чётным числом сторон.
Диагонали, которые соединяют противоположные вершины многоугольника, пересекаются в одной точке, находящейся на одной прямой с центрами вписанной и описанной окружностей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 23 мар 2020, 16:33 
В сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 271
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
55 раз в 47 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Kitonum писал(а):
chebo писал(а):
Вопрос ещё актуальный?

Да.

Дал сыну эту задачку. Вот его решение.

Изображение

Пусть прямые [math]AB[/math] и [math]CD[/math] пересекаются в точке [math]P[/math], а прямые [math]AD[/math] и [math]BC[/math] в точке [math]R[/math] (в случае трапеции одна из точек окажется в бесконечности, но это не повлияет на ход рассуждений). Тогда прямая [math]PR[/math] - поляра точки [math]Q[/math] относительно описанной окружности [math]\Omega[/math]. Следовательно, [math]OQ[/math] [math]\perp[/math] [math]PR[/math] [math](1)[/math].
Пусть [math]K, L, M, N[/math] - точки касания вписанной окружности сторон четырехугольника.
Из теоремы Брианшона (вырожденный случай) следует [math]KL \cap MN[/math] = [math]AC \cap BD[/math] = [math]Q[/math].
Так как [math]PM[/math] и [math]PN[/math] - касательные к вписанной окружности [math]\omega[/math], то [math]MN[/math] - поляра точки [math]P[/math] относительно [math]\omega[/math]. Аналогично, [math]KL[/math] - поляра точки [math]R[/math] относительно этой же окружности. Следовательно, [math]PR[/math] - поляра точки [math]Q[/math] относительно [math]\omega[/math], и, таким образом, [math]IQ[/math] [math]\perp[/math] [math]PR[/math] [math](2)[/math].
Из этих двух утверждений следует, что точки [math]O, I, Q[/math] лежат на одной прямой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю chebo "Спасибо" сказали:
Kitonum, Li6-D, Race
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 24 мар 2020, 09:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 фев 2020, 10:46
Сообщений: 36
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
14 раз в 12 сообщениях
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo писал(а):
Дал сыну эту задачку. Вот его решение.

:good: Большое спасибо! Очень круто (теорема Брианшона, поляры и т.д.). Пожалуй, это уже не "школьная математика" , если иметь в виду обычные школы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 24 мар 2020, 10:08 
В сети
Мастер
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 271
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 18
Спасибо получено:
55 раз в 47 сообщениях
Очков репутации: 10

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. Ну, в общем, конечно, в обычной школе такого не дают. Да и в физмат не в каждой... :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачка на четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 24 мар 2020, 14:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1765
Cпасибо сказано: 413
Спасибо получено:
308 раз в 288 сообщениях
Очков репутации: 46

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo,
отличное решение задачи методами ПГ!
Я, по скудоумию своему, методами ПГ пользуюсь при построении, а вот применить их к решению задачи не догадался.
chebo писал(а):
Спасибо. Ну, в общем, конечно, в обычной школе такого не дают. Да и в физмат не в каждой... :)

Я Вам более того скажу, не на каждой специальности в ВУЗе будут ПГ проходить... Разве что как небольшой раздел аналитической геометрии.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
chebo
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Четырёхугольник

в форуме Геометрия

sema_90

5

308

13 ноя 2016, 21:50

Четырёхугольник

в форуме Геометрия

Kristinadefa

1

208

03 окт 2015, 21:14

Четырехугольник

в форуме Геометрия

tumkan

2

464

05 июл 2012, 22:35

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

1

273

06 апр 2015, 14:56

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

4

241

06 июн 2015, 09:23

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

11

592

13 апр 2015, 10:18

Самопересекающийся четырехугольник

в форуме Геометрия

Race

19

968

16 ноя 2016, 16:02

построить четырехугольник

в форуме Геометрия

fat_cat

3

554

23 авг 2011, 15:50

Выпуклый четырёхугольник

в форуме Геометрия

Stas

1

290

01 ноя 2011, 01:42

Занимательный четырехугольник

в форуме Геометрия

Race

6

149

07 май 2019, 12:19


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: chebo и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved