Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вписано-описанный четырёхугольник
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=68299
Страница 1 из 1

Автор:  FEBUS [ 28 янв 2020, 22:07 ]
Заголовок сообщения:  Вписано-описанный четырёхугольник

В окружность вписан четырёхугольник со сторонами [math]\; 8,7,1,4 \;.[/math] Из точки пресечения диагоналей опустили перпендикуляры на стороны.
Доказать, что основания перпендикуляров образуют вписано-описанный четырёхугольник.

Автор:  Race [ 29 янв 2020, 12:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписано-описанный четырёхугольник

Пока выкладываю доказательство что полученный четырехугольник будет описанным.

1. Построение.
Изображение
2. Так как [math]\angle OMB+ \angle ONB= \pi[/math] то четырехугольник [math]ONBM[/math] вписанный [math]\Rightarrow \angle BON= \angle NMB=\frac{ \pi }{ 2 }- \beta[/math]
Аналогично доказываем для четырехугольника [math]AKOM[/math], так как он тоже вписанный то [math]\angle KOA= \angle KMA=\frac{ \pi }{ 2 }- \beta \Rightarrow \angle NMB= \angle KMA \Rightarrow MO[/math] биссектриса [math]\angle KMN[/math].
Аналогично доказываем для [math]KO, FO, NO[/math], а точкой пересечения 4 биссектрис углов четырехугольника является центр вписанной окружности.

Автор:  FEBUS [ 29 янв 2020, 12:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписано-описанный четырёхугольник

Race
Картинку обрежьте, вылезает за экран.

Автор:  Race [ 29 янв 2020, 15:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписано-описанный четырёхугольник

Касательно вписанного четырехугольника ничего красивого не вышло(
Придется ждать других решений. Еще достаточно интересная подробность о произвольных четырехугольниках построенных данным образом - если продолжить их стороны, то они обязательно пересекутся на продолженных диагоналях исходного вписанного четырехугольника.

Автор:  Race [ 14 фев 2020, 01:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписано-описанный четырёхугольник

FEBUS,
подскажите пожалуйста, данная задача счетная, либо имеет красивое геометрическое решение?
Пока я придумал скучное счетное решение, но даже ввязываться не хочется.
1. Используя теорему косинусов находим диагонали заданного четырехугольника.
2. Находим площадь данного четырехугольника, а так же площадь треугольников на которые его разбивают диагонали.
3. Используя попарное подобие треугольников на которые разбивают четырехугольник диагонали находим значение высот четырех треугольников.
4. Находим непосредственно стороны искомого четырехугольника.
5. Используя теорему косинусов находим значение противоположных углов у треугольников которые получили разбиением искомого высотами, помня при этом что наши высоты выступают в роли биссектрис.
6. Если сумма косинусов удвоенного аргумента найденных углов равняется нулю то четырехугольник вписанный.

Автор:  FEBUS [ 14 фев 2020, 03:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вписано-описанный четырёхугольник

Race писал(а):
FEBUS,
подскажите пожалуйста, данная задача счетная, либо имеет красивое геометрическое решение?

Имеет красивое геометрическое решение, очень простое.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/