Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписано-описанный четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 28 янв 2020, 22:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1292
Cпасибо сказано: 293
Спасибо получено:
349 раз в 287 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В окружность вписан четырёхугольник со сторонами [math]\; 8,7,1,4 \;.[/math] Из точки пресечения диагоналей опустили перпендикуляры на стороны.
Доказать, что основания перпендикуляров образуют вписано-описанный четырёхугольник.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 29 янв 2020, 12:40 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1958
Cпасибо сказано: 471
Спасибо получено:
352 раз в 325 сообщениях
Очков репутации: 49

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пока выкладываю доказательство что полученный четырехугольник будет описанным.

1. Построение.
Изображение
2. Так как [math]\angle OMB+ \angle ONB= \pi[/math] то четырехугольник [math]ONBM[/math] вписанный [math]\Rightarrow \angle BON= \angle NMB=\frac{ \pi }{ 2 }- \beta[/math]
Аналогично доказываем для четырехугольника [math]AKOM[/math], так как он тоже вписанный то [math]\angle KOA= \angle KMA=\frac{ \pi }{ 2 }- \beta \Rightarrow \angle NMB= \angle KMA \Rightarrow MO[/math] биссектриса [math]\angle KMN[/math].
Аналогично доказываем для [math]KO, FO, NO[/math], а точкой пересечения 4 биссектрис углов четырехугольника является центр вписанной окружности.


Последний раз редактировалось Race 29 янв 2020, 13:04, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
FEBUS
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 29 янв 2020, 12:54 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1292
Cпасибо сказано: 293
Спасибо получено:
349 раз в 287 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race
Картинку обрежьте, вылезает за экран.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 29 янв 2020, 15:09 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1958
Cпасибо сказано: 471
Спасибо получено:
352 раз в 325 сообщениях
Очков репутации: 49

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Касательно вписанного четырехугольника ничего красивого не вышло(
Придется ждать других решений. Еще достаточно интересная подробность о произвольных четырехугольниках построенных данным образом - если продолжить их стороны, то они обязательно пересекутся на продолженных диагоналях исходного вписанного четырехугольника.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 14 фев 2020, 01:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1958
Cпасибо сказано: 471
Спасибо получено:
352 раз в 325 сообщениях
Очков репутации: 49

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS,
подскажите пожалуйста, данная задача счетная, либо имеет красивое геометрическое решение?
Пока я придумал скучное счетное решение, но даже ввязываться не хочется.
1. Используя теорему косинусов находим диагонали заданного четырехугольника.
2. Находим площадь данного четырехугольника, а так же площадь треугольников на которые его разбивают диагонали.
3. Используя попарное подобие треугольников на которые разбивают четырехугольник диагонали находим значение высот четырех треугольников.
4. Находим непосредственно стороны искомого четырехугольника.
5. Используя теорему косинусов находим значение противоположных углов у треугольников которые получили разбиением искомого высотами, помня при этом что наши высоты выступают в роли биссектрис.
6. Если сумма косинусов удвоенного аргумента найденных углов равняется нулю то четырехугольник вписанный.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырёхугольник
СообщениеДобавлено: 14 фев 2020, 03:49 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1292
Cпасибо сказано: 293
Спасибо получено:
349 раз в 287 сообщениях
Очков репутации: 8

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
FEBUS,
подскажите пожалуйста, данная задача счетная, либо имеет красивое геометрическое решение?

Имеет красивое геометрическое решение, очень простое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали:
Race
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии

в форуме Геометрия

FEBUS

12

426

07 июл 2018, 11:58

Описанный куб

в форуме Геометрия

1805

16

601

30 май 2016, 00:25

Геометрия . Описанный треугольник

в форуме Геометрия

Businka

3

1312

24 сен 2014, 08:32

Вписанный/описанный треугольник

в форуме Геометрия

Fozar

5

853

13 май 2013, 17:59

Вписанный и описанный треугольник

в форуме Геометрия

olbana

3

931

09 дек 2010, 14:56

Круг, описанный около треугольника

в форуме Геометрия

Fediono

9

239

02 мар 2019, 20:40

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

1

287

06 апр 2015, 14:56

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

11

641

13 апр 2015, 10:18

Четырёхугольник

в форуме Геометрия

Kristinadefa

1

229

03 окт 2015, 21:14

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

4

260

06 июн 2015, 09:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Glotov1 и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved