Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
СообщениеДобавлено: 28 дек 2019, 12:05 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 908
Cпасибо сказано: 139
Спасибо получено:
477 раз в 392 сообщениях
Очков репутации: 93

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
▼ Небольшое пространственное отступление от темы
Упомянутую теорему Декарта для четырех взаимно касающихся окружностей на плоскости можно рассматривать как вырожденный случай формулы для кривизны [math]k[/math] сферы [math]S[/math], проходящей через шесть точек касания четырех сфер [math]{S_1},\;{S_2},\;{S_3},\;{S_4}[/math], каждая из которых касается трех остальных:
[math]2{k^2}= \frac{{{M^2}}}{2}- Q[/math]
(1)

где [math]M ={k_1}+{k_2}+{k_3}+{k_4}[/math], [math]Q ={k_1}^2 +{k_2}^2 +{k_3}^2 +{k_4}^2[/math], [math]{k_1},\;{k_2},\;{k_3},\;{k_4}[/math] - кривизна сфер.

То, что все шесть точек касания лежат на одной сфере и то, что сфера [math]S[/math] ортогональна сферам [math]{S_1},\;{S_2},\;{S_3},\;{S_4}[/math] легко доказать с помощью инверсии с центром в одной из точек касания сфер.
Допустим, что все шесть точек касания сфер лежат поверхности сферы нулевой кривизны [math](k=0)[/math].
Сфера [math]S[/math] вырождается в плоскость, в сечении которой мы увидим диаметральные сечения сфер [math]{S_1},\;{S_2},\;{S_3},\;{S_4}[/math] (то есть окружности кривизны [math]{k_1},\;{k_2},\;{k_3},\;{k_4}[/math] на плоскости, каждая из которых касается трех остальных).
Поэтому из (1) мы сразу получаем формулу Декарта: [math]\frac{{{M^2}}}{2}= Q[/math].
Если кривизны сфер таковы, что [math]\frac{{{M^2}}}{2}<Q[/math], то нельзя заставить такие сферы взаимно соприкоснуться - самая маленькая сфера будет проходить в зазор между тремя остальными (в случае внешнего касания сфер) или вовнутрь большей сферы нельзя поместить три остальных (сфера касающаяся с остальными внутренним образом имеет в формуле отрицательную кривизну).
Попробуйте из этих соображений алгебраически показать, что четыре взаимно касающиеся сферы всегда имеют или шесть внешних или три внешних и три внутренних точек касания.

В общем виде для пространства размерности [math]n[/math], в котором взаимно соприкасаются [math]n+1[/math] сфер кривизны [math]{{\text{k}}_{\text{1}}},\;{{\text{k}}_{\text{2}}},\; \ldots{{\text{k}}_{{\text{n}}+{\text{1}}}}[/math], формула (1) выглядит так:
[math]2{k^2} = \frac{{{M^2}}}{{n - 1}} - Q[/math]
(2)

где [math]M = \sum\limits_{i = 1}^{n + 1}{{k_i}}[/math], [math]Q = \sum\limits_{i = 1}^{n + 1}{{k_i}^2}[/math].

Теперь, я думаю, понятно как из (2) получить уравнение Содди и Госсета для взаимно касающихся сфер.


Последний раз редактировалось Li6-D 28 дек 2019, 12:53, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Race, Tantan
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
СообщениеДобавлено: 28 дек 2019, 12:34 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
703 раз в 678 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]Li6-D,[/math]
Спасибо об разяснения о пространственом аналогом теоремма Декарта! Я рад, что на этом форуме есть эродированые математиков как Вам и я могу с их общатся!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Касающиеся окружности
СообщениеДобавлено: 28 дек 2019, 14:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1958
Cпасибо сказано: 471
Спасибо получено:
352 раз в 325 сообщениях
Очков репутации: 49

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D.
если бы объяснения т-мы Декарта начинали именно с пространственного случая то её бы больше людей понимали)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  Страница 9 из 9 [ Сообщений: 83 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Касающиеся окружности

в форуме Геометрия

Race

18

513

07 апр 2017, 13:23

Касающиеся кривые

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

AlexVm

5

321

22 янв 2017, 01:24

Составить уравнение окружности, если она касается окружности

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

MARGARITA1987

7

596

16 янв 2014, 19:19

Отношение радиуса описанной окружности к радиусу окружности?

в форуме Геометрия

valeron1115

22

797

14 май 2018, 12:15

ГМТ и окружности

в форуме Геометрия

Vitola

1

206

13 май 2017, 15:01

ГМТ и окружности

в форуме Геометрия

Vitola

1

227

13 май 2017, 15:03

ГМТ и окружности

в форуме Геометрия

Vitola

4

301

13 май 2017, 14:57

Три окружности

в форуме Геометрия

sfanter

3

327

06 июл 2014, 12:50

Две окружности

в форуме Геометрия

sfanter

1

223

08 июл 2014, 13:33

ГМТ и окружности

в форуме Геометрия

Vitola

2

184

13 май 2017, 14:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: underline и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved