Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Точка и окружность. Построение
СообщениеДобавлено: 13 авг 2019, 23:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1293
Cпасибо сказано: 311
Спасибо получено:
267 раз в 227 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер.
Хочу выложить простенькую задачу, которая предлагалась на областной олимпиаде для 7-го класса.
Дана окружность с центром [math]O[/math] и точка [math]A[/math] вне её. Используя циркуль и линейку, провести через точку [math]A[/math] прямую, пересекающую окружность в точках [math]B[/math] и [math]C[/math] таких, что [math]AB=BC[/math].

Изображение

Решение элементарно:
Пусть [math]R[/math] - радиус данной окружности. Проводим окружность радиусом [math]2R[/math] с центром в точке [math]A[/math]. Она пересекает данную окружность в двух точках. Обозначим одну из них [math]D[/math].
Через точку [math]D[/math] проводим диаметр [math]DC[/math]. Соединяем точки [math]A[/math] и [math]C[/math] отрезком, который пересекает данную окружность в точке [math]B[/math]. Прямая [math]AC[/math] - искомая.
Действительно, [math]\angle CBD[/math] прямой как вписанный, опирающийся на диаметр [math]DC[/math]. Значит, [math]DB[/math] - высота треугольника [math]ACD[/math]. Но [math]\triangle ACD[/math] равнобедренный по построению [math]\left (AD=DC=2R\right )[/math]. А, стало быть, [math]DB[/math] - и медиана. Значит, [math]AB=BC[/math].
По второй точке пересечения окружностей аналогично строим вторую искомую прямую. Имеем 2 решения.
Если расстояние от точки [math]A[/math] до данной окружности равно [math]2R[/math], то решение одно. В этом случае просто проводим прямую [math]AO[/math].
Если же расстояние больше [math]2R[/math], то решений нет.
Понятно, что задача простая и на олимпиадную не тянет. Если бы не одно но...
Организаторы олимпиады оплошали. Дело в том, что семиклассники знать не знают, что такое вписанный угол.
И вот я предлагаю форумчанам осуществить указанное построение, ограничившись материалом для 7-го класса.
А знают семиклассники следующее:
1. Начальные геометрические сведения.
2. Треугольники. Равенство треугольников.
3. Окружность и элементарные задачи на построение.
4. Параллельные прямые.
5. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
6. Построение треугольника по трём элементам.
Ну, пожалуй, и всё.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точка и окружность. Построение
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 00:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 2959
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
205 раз в 197 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
Дана окружность с центром [math]O[/math] и точка [math]A[/math] вне её. Используя циркуль и линейку, провести через точку [math]A[/math] прямую, пересекающую окружность в точках [math]B[/math] и [math]C[/math] таких, что [math]AB=BC[/math].

Есть случай, когда это сделать просто не возможно: расстояние от точки А до ближайшей к ней точки окружности превышает диаметр окружности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точка и окружность. Построение
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 00:34 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1293
Cпасибо сказано: 311
Спасибо получено:
267 раз в 227 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
Есть случай, когда это сделать просто не возможно: расстояние от точки А до ближайшей к ней точки окружности превышает диаметр окружности.
3axap
Вы, наверное, невнимательно прочитали стартовый пост:
Gagarin писал(а):
Если же расстояние больше [math]2R[/math], то решений нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точка и окружность. Построение
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 17:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 2959
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
205 раз в 197 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот:

Изображение

По свойству ромба диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точка и окружность. Построение
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 22:58 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
20 сен 2013, 23:46
Сообщений: 1293
Cпасибо сказано: 311
Спасибо получено:
267 раз в 227 сообщениях
Очков репутации: 60

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3axap писал(а):
По свойству ромба диагонали в точке пересечения делятся пополам.
3axap
Неплохо. Но... Вы опять невнимательно читали стартовый пост. Четырёхугольники и свойства ромба - всё это материал 8-го класса. Семиклассники ничего этого не знают.
Я же привёл в стартовом посте список тем, изучаемых в 7-м классе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точка и окружность. Построение
СообщениеДобавлено: 14 авг 2019, 23:39 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 829
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
420 раз в 351 сообщениях
Очков репутации: 83

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В седьмом классе проходят среднее геометрическое?

Построение на рисунке ниже на нём основано.
Причем точка B может делить отрезок AC в любом заданном отношении, необязательно пополам.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точка и окружность. Построение
СообщениеДобавлено: 15 авг 2019, 00:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 2959
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
205 раз в 197 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gagarin писал(а):
Четырёхугольники и свойства ромба - всё это материал 8-го класса. Семиклассники ничего этого не знают.

Я точно этого не помню, но тогда можно так: [math]\triangle DAE= \triangle DCE[/math] по трём сторонам ([math]DE[/math] - общая, [math]DC=DA=EC=EA=2R[/math]). Следовательно: [math]AB=BC[/math].

Изображение

Точка [math]B[/math] - середина [math]AC[/math] по построению, так как из равенства равнобедренных треугольников [math]\triangle CDA= \triangle CEA[/math]также следует, что [math]DB=BE[/math]. Середину отрезка, думаю, в 7 классе строить умеют.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точка и окружность. Построение
СообщениеДобавлено: 15 авг 2019, 01:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июн 2016, 15:38
Сообщений: 2959
Откуда: Калининградская область
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
205 раз в 197 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вообще, думаю недостаточно, так как середина B может не принадлежать окружности, либо [math]DE[/math] - ломаная. Тогда 7-класснику придётся вспомнить, что радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной, затем доказать параллельность прямых и найти при них равные накрестлежащие соответствующие углы, чтобы показать, что [math]DAE[/math] и [math]CDE[/math] - равные треугольники (или [math]DE[/math] - прямая), всё гораздо сложнее:

Изображение

С ромбом или вписанным углом было бы намного легче. Насчёт построения со средним геометрическим, не уверен, что семиклассник придёт к такому.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точка и окружность. Построение
СообщениеДобавлено: 15 авг 2019, 13:38 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1588
Cпасибо сказано: 337
Спасибо получено:
270 раз в 251 сообщениях
Очков репутации: 42

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если в 7м классе уже решают элементарные задачи на построение и знают как построить окружность по 3 точкам, то можно так - чисто по чертежному, но при этом построении не используется центр окружности.....

Изображение
Такой подход, аналогично решению от Li6-D позволяет разбить отрезки в любой пропорции, естественно при возможности построения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Точка и окружность. Построение
СообщениеДобавлено: 15 авг 2019, 16:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1588
Cпасибо сказано: 337
Спасибо получено:
270 раз в 251 сообщениях
Очков репутации: 42

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если воспользоваться центром, то построение упрощается, окружность ГМТ точки С строим по диаметру... Предполагается что семиклассники уже умеют делить отрезок на 2 части.
Другое дело с доказательством приведенного построения... Тут, как мне кажется, в программу 7-го класса не уложиться.

1. Строим луч проходящий через точку и центр окружности.
2. Строим 2 окружности с центрами полученными пересечением луча и окружности и проходящие через точку.
3. Используя 2 вторые точки пересечения окружностей и луча, как на диаметре строим окружность.
4. Точки пересечения последней окружности с заданной буду искомыми.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Точка и окружность

в форуме Геометрия

pernik

20

810

14 дек 2012, 12:21

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка P лежит на с

в форуме Геометрия

nikpir

1

28

02 дек 2019, 21:33

Геометрическое построение на плоскости(анализ, построение,

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

ahgel1990

1

409

15 дек 2014, 02:54

Окружность

в форуме Геометрия

kicultanya

3

216

28 окт 2016, 15:52

Окружность

в форуме Геометрия

sfanter

1

226

05 апр 2015, 22:17

Окружность

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Irinackaa

3

276

18 июн 2017, 14:57

Окружность

в форуме Геометрия

Kattt

1

322

03 фев 2012, 20:03

Окружность

в форуме Тригонометрия

crazyjkee

1

390

25 май 2014, 17:59

Окружность

в форуме MathCad

JuliaFrolova

0

447

01 дек 2013, 18:46

Окружность

в форуме Геометрия

Messi

2

1647

09 май 2012, 11:43


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved