Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на поиск углов
СообщениеДобавлено: 08 авг 2019, 11:30 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пришлось привлечь сына, хоть у него сейчас и каникулы. И насесть на него как следует, чтобы не убежал в футбол играть :D1 .
В общем, так...

Изображение

Пусть [math]I[/math] - центр описанной окружности. Как выше верно заметил Race, точка [math]I[/math] лежит на отрезке [math]AO[/math] (это легко показать). Тогда [math]\triangle BIC[/math] - равнобедренный с углом при основании [math]= 66^{\circ}[/math] ( [math]\angle IBC=81^{\circ}-15^{\circ}=66^{\circ}[/math] , т.к. [math]\triangle AIB[/math] равнобедренный с углом [math]\angle IBA=15^{\circ}[/math]), следовательно, угол при его вершине [math]\angle BIC=48^{\circ}[/math].
Угол [math]\angle OIC=18^{\circ}[/math], как внешний угол тр-ка [math]AIC[/math]. Продлим [math]AO[/math] до пересечения со стороной [math]BC[/math] в точке [math]P[/math]. Возьмем точку [math]Q[/math], симметричную точке [math]P[/math] относительно середины [math]BC[/math]. Тогда [math]\angle BIQ=18^{\circ}[/math], а [math]\angle QIP=12^{\circ}[/math].
Поскольку [math]\angle OIQ= \angle OBQ=12^{\circ}[/math], то [math]IOQB[/math] - вписанный. Поэтому

[math]PI \cdot PO=PB \cdot PQ[/math] [math](1)[/math].

Теперь заметим, что точка [math]P[/math] делит сторону [math]BC[/math] в золотом сечении. Действительно, поскольку [math]\triangle BIC[/math] равнобедренный, то справедливо равенство

[math]\frac{ PC }{ PB }=\frac{ \sin{\angle PIC} }{ \sin{\angle BIP} }=\frac{ \sin{18^{\circ}} }{ \sin{30^{\circ}} }=\frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 }= \varphi[/math] - золотое сечение.

Одновременно точка [math]P[/math] делит в золотом сечении и отрезок [math]CQ[/math]:

[math]\frac{ PQ }{ PC }=\frac{ (PB-QB) }{ QB }=\frac{ PB }{ QB }-1=\frac{ PB }{ PC }-1=\frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 }= \varphi[/math].

Таким образом, получаем

[math]\frac{ PC }{ PB }=\frac{ PQ }{ PC }[/math]

или [math]PC^{2} =PB \cdot PQ[/math] [math](2)[/math].
Из [math](1)[/math] и [math](2)[/math] получаем, что [math]PI \cdot PO=PC^{2}[/math] или

[math]\frac{ PI }{ PC }=\frac{ PC }{ PO }[/math].

Отсюда делаем вывод, что тр-ки [math]PIC[/math] и [math]POC[/math] подобны, а, следовательно, [math]\angle OCP=18^{\circ}[/math], и, соответственно, [math]\angle ACO=75^{\circ}-18^{\circ}=57^{\circ}[/math]. Ч.т.д.
Ахренительная задача... При таком простом условии :%)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю chebo "Спасибо" сказали:
michel, Race
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на поиск углов
СообщениеДобавлено: 08 авг 2019, 13:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Привожу окончание своего решения, где достаточно было доказать удивительное свойство следующей трапеции:
Изображение
Доказательство свелось к тригонометрическому тождеству для [math]sin18^o[/math].
В этой удивительной трапеции ещё есть два равных треугольника [math]AED[/math] и [math]BCD[/math] с тупым углом [math]150^o[/math]. По сути дела их равенство надо было и доказать, чтобы установить, что угол между диагоналями равен [math]150^o[/math] и равен одному из тупых углов трапеции.
Примечание. Доказательство было найдено ещё две недели назад, но придержал, чтобы не потакать халявщику ТС, хотя я ему подсказал, что все сводится к [math]sin18^o[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
chebo, Race
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на поиск углов
СообщениеДобавлено: 19 сен 2019, 17:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 сен 2019, 16:08
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть <ACO=57°, тогда <OCB= ACB- ACO=75(из услоия 180-CAB-ABC)-57=18°, тогда COB=180-OCB-OBC=180-18-(из услоия81-69)=150°, тогда AOC=360-COB-AOB=360-150-(из условия180-69-15)=114°,тогда CAO=180-AOC-ACO=180-114-57=9°, а из условия мы знаем, что CAO=9°(24-15)! Доказано

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на поиск углов
СообщениеДобавлено: 19 сен 2019, 18:13 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
IgorZap писал(а):
Пусть <ACO=57°...
Блестяще!
А теперь начните своё "доказательство" со слов: "Пусть [math]\angle ACO=60^{\circ}[/math] ..." и проделайте всё то же самое :D1
Можете попробовать в качестве величины угла АСО взять ещё пару-тройку значений. :Yahoo!:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю chebo "Спасибо" сказали:
IgorZap
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на поиск углов
СообщениеДобавлено: 20 сен 2019, 12:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 сен 2019, 16:08
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
так в чём подвох? при данных условиях ACO не может быть равен 60°?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на поиск углов
СообщениеДобавлено: 20 сен 2019, 12:47 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5207
Cпасибо сказано: 340
Спасибо получено:
923 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
IgorZap
Подвох в том, что ваше доказательство таковым не является.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на поиск углов
СообщениеДобавлено: 20 сен 2019, 12:48 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
IgorZap писал(а):
так в чём подвох? при данных условиях ACO не может быть равен 60°?

Конечно, не может. Но по вашему "доказательству" получается, что может. По вашему "доказательству" он вообще может быть (почти) каким угодно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на поиск углов
СообщениеДобавлено: 20 сен 2019, 13:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
19 сен 2019, 16:08
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение что здесь есть ошибка?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на поиск углов
СообщениеДобавлено: 20 сен 2019, 13:56 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
IgorZap писал(а):
что здесь есть ошибка?
Конечно. Вы просто не сможете нарисовать такую фигуру.
(попробуйте хотя бы в GeoGebra)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сложная задача на поиск углов
СообщениеДобавлено: 20 сен 2019, 14:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7565
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возьмите транспортир и проверьте, что для данной конструкции сочетание указанных Вами углов является невозможным (миражом). Выше у меня были выложены точные чертежи, выполненные в Живой Геометрии с соблюдением всех углов. Аналогично можно сделать в Geogebra или даже в Autocad.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  Страница 5 из 5 [ Сообщений: 50 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача про биссектрисы углов

в форуме Геометрия

dmath18

3

353

08 фев 2018, 21:23

Сложная задача

в форуме Алгебра

Alexsander

1

498

21 фев 2016, 15:11

Сложная задача

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

olegog

10

906

14 июл 2015, 12:54

Сложная задача

в форуме Алгебра

lemur

3

182

25 ноя 2021, 14:43

Сложная задача

в форуме Геометрия

Pazuiorstv

1

557

15 май 2014, 21:53

Сложная задача

в форуме Теория вероятностей

galachel

7

1363

19 дек 2015, 20:41

Задача на доказательство равенства углов

в форуме Геометрия

MathRandom

1

146

16 фев 2020, 16:51

Сложная задача на планиметрию

в форуме Геометрия

KetiS

9

712

08 мар 2016, 22:36

Сложная геометрическая задача

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Jambo

4

1105

03 мар 2015, 18:43

Сложная задача по комбинаторике

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

Helios

5

615

02 окт 2016, 23:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved