Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 5 из 5 |
[ Сообщений: 50 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
chebo |
|
|
В общем, так... Пусть [math]I[/math] - центр описанной окружности. Как выше верно заметил Race, точка [math]I[/math] лежит на отрезке [math]AO[/math] (это легко показать). Тогда [math]\triangle BIC[/math] - равнобедренный с углом при основании [math]= 66^{\circ}[/math] ( [math]\angle IBC=81^{\circ}-15^{\circ}=66^{\circ}[/math] , т.к. [math]\triangle AIB[/math] равнобедренный с углом [math]\angle IBA=15^{\circ}[/math]), следовательно, угол при его вершине [math]\angle BIC=48^{\circ}[/math]. Угол [math]\angle OIC=18^{\circ}[/math], как внешний угол тр-ка [math]AIC[/math]. Продлим [math]AO[/math] до пересечения со стороной [math]BC[/math] в точке [math]P[/math]. Возьмем точку [math]Q[/math], симметричную точке [math]P[/math] относительно середины [math]BC[/math]. Тогда [math]\angle BIQ=18^{\circ}[/math], а [math]\angle QIP=12^{\circ}[/math]. Поскольку [math]\angle OIQ= \angle OBQ=12^{\circ}[/math], то [math]IOQB[/math] - вписанный. Поэтому [math]PI \cdot PO=PB \cdot PQ[/math] [math](1)[/math]. Теперь заметим, что точка [math]P[/math] делит сторону [math]BC[/math] в золотом сечении. Действительно, поскольку [math]\triangle BIC[/math] равнобедренный, то справедливо равенство [math]\frac{ PC }{ PB }=\frac{ \sin{\angle PIC} }{ \sin{\angle BIP} }=\frac{ \sin{18^{\circ}} }{ \sin{30^{\circ}} }=\frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 }= \varphi[/math] - золотое сечение. Одновременно точка [math]P[/math] делит в золотом сечении и отрезок [math]CQ[/math]: [math]\frac{ PQ }{ PC }=\frac{ (PB-QB) }{ QB }=\frac{ PB }{ QB }-1=\frac{ PB }{ PC }-1=\frac{ \sqrt{5} -1 }{ 2 }= \varphi[/math]. Таким образом, получаем [math]\frac{ PC }{ PB }=\frac{ PQ }{ PC }[/math] или [math]PC^{2} =PB \cdot PQ[/math] [math](2)[/math]. Из [math](1)[/math] и [math](2)[/math] получаем, что [math]PI \cdot PO=PC^{2}[/math] или [math]\frac{ PI }{ PC }=\frac{ PC }{ PO }[/math]. Отсюда делаем вывод, что тр-ки [math]PIC[/math] и [math]POC[/math] подобны, а, следовательно, [math]\angle OCP=18^{\circ}[/math], и, соответственно, [math]\angle ACO=75^{\circ}-18^{\circ}=57^{\circ}[/math]. Ч.т.д. Ахренительная задача... При таком простом условии |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю chebo "Спасибо" сказали: michel, Race |
||
michel |
|
|
Привожу окончание своего решения, где достаточно было доказать удивительное свойство следующей трапеции:
Доказательство свелось к тригонометрическому тождеству для [math]sin18^o[/math]. В этой удивительной трапеции ещё есть два равных треугольника [math]AED[/math] и [math]BCD[/math] с тупым углом [math]150^o[/math]. По сути дела их равенство надо было и доказать, чтобы установить, что угол между диагоналями равен [math]150^o[/math] и равен одному из тупых углов трапеции. Примечание. Доказательство было найдено ещё две недели назад, но придержал, чтобы не потакать халявщику ТС, хотя я ему подсказал, что все сводится к [math]sin18^o[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: chebo, Race |
||
IgorZap |
|
|
Пусть <ACO=57°, тогда <OCB= ACB- ACO=75(из услоия 180-CAB-ABC)-57=18°, тогда COB=180-OCB-OBC=180-18-(из услоия81-69)=150°, тогда AOC=360-COB-AOB=360-150-(из условия180-69-15)=114°,тогда CAO=180-AOC-ACO=180-114-57=9°, а из условия мы знаем, что CAO=9°(24-15)! Доказано
|
||
Вернуться к началу | ||
chebo |
|
|
IgorZap писал(а): Пусть <ACO=57°... Блестяще!А теперь начните своё "доказательство" со слов: "Пусть [math]\angle ACO=60^{\circ}[/math] ..." и проделайте всё то же самое Можете попробовать в качестве величины угла АСО взять ещё пару-тройку значений. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю chebo "Спасибо" сказали: IgorZap |
||
IgorZap |
|
|
так в чём подвох? при данных условиях ACO не может быть равен 60°?
|
||
Вернуться к началу | ||
Booker48 |
|
|
IgorZap
Подвох в том, что ваше доказательство таковым не является. |
||
Вернуться к началу | ||
chebo |
|
|
IgorZap писал(а): так в чём подвох? при данных условиях ACO не может быть равен 60°? Конечно, не может. Но по вашему "доказательству" получается, что может. По вашему "доказательству" он вообще может быть (почти) каким угодно. |
||
Вернуться к началу | ||
IgorZap |
|
|
Вернуться к началу | ||
chebo |
|
|
IgorZap писал(а): что здесь есть ошибка? Конечно. Вы просто не сможете нарисовать такую фигуру.(попробуйте хотя бы в GeoGebra) |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Возьмите транспортир и проверьте, что для данной конструкции сочетание указанных Вами углов является невозможным (миражом). Выше у меня были выложены точные чертежи, выполненные в Живой Геометрии с соблюдением всех углов. Аналогично можно сделать в Geogebra или даже в Autocad.
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4, 5 | [ Сообщений: 50 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Задача про биссектрисы углов
в форуме Геометрия |
3 |
353 |
08 фев 2018, 21:23 |
|
Сложная задача
в форуме Алгебра |
1 |
498 |
21 фев 2016, 15:11 |
|
Сложная задача
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
10 |
906 |
14 июл 2015, 12:54 |
|
Сложная задача
в форуме Алгебра |
3 |
182 |
25 ноя 2021, 14:43 |
|
Сложная задача
в форуме Геометрия |
1 |
557 |
15 май 2014, 21:53 |
|
Сложная задача
в форуме Теория вероятностей |
7 |
1363 |
19 дек 2015, 20:41 |
|
Задача на доказательство равенства углов
в форуме Геометрия |
1 |
146 |
16 фев 2020, 16:51 |
|
Сложная задача на планиметрию
в форуме Геометрия |
9 |
712 |
08 мар 2016, 22:36 |
|
Сложная геометрическая задача | 4 |
1105 |
03 мар 2015, 18:43 |
|
Сложная задача по комбинаторике
в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей |
5 |
615 |
02 окт 2016, 23:00 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |