Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Забавный треугольник
СообщениеДобавлено: 17 июл 2019, 08:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На плоскости задан треугольник АВС. Из угла А опущена чевиана АЕ, такая что |BE|/|EC|=a/b.
На сторонах АВ и ВС треугольника взяты точки М и N соответственно, такие что прямая MN пересекающая АЕ в точке Z, делит чевиану АЕ и отрезок MN следующим образом |AZ|/|ZE|=|NZ|/|ZM|=a/b.
Определить |NC|/|AN|, |MB|/|AM|-?

Задача примечательна тем, что в явном виде не выйдет применить т-мы Чевы либо Менелая, а следовательно придется немного подумать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Забавный треугольник
СообщениеДобавлено: 17 июл 2019, 10:08 
В сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7566
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2749 раз в 2537 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В четырехугольнике [math]AMEN[/math] диагонали образуют пару подобных треугольников с общим вертикальным углом с вершиной [math]Z[/math], при этом другие две пары равных углов оказываются накрест лежащими относительно друг друга, откуда следует [math]ME \parallel AC \Rightarrow BM \,\colon AM=a \,\colon b[/math], дальше находим отношение оснований трапеции [math]AMEN[/math] и получаем [math]AN=\frac{ a^2 }{ b(a+b) }AC \Rightarrow NC \,\colon AN=(b^2+ab-a^2) \,\colon a^2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Забавный треугольник
СообщениеДобавлено: 17 июл 2019, 12:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,
А если немного усложнить, убрав явное подобие треугольников?

На плоскости задан треугольник АВС. Из угла А опущена чевиана АЕ, такая что |BE|/|EC|=a/b.
На сторонах АВ и АС треугольника взяты точки М и N соответственно, такие что прямая MN пересекающая АЕ в точке Z, делит чевиану АЕ и отрезок MN следующим образом |AZ|/|ZE|=|NZ|/|ZM|=a/b.
Определить |NC|/|AN|, |MB|/|AM|-?

Я все пытаюсь придумать задачу явно и легко разрешимую при помощи геометрии масс и не тривиальную с точки зрения Евклидовой геометрии, но Вы не оставляете от моих надежд камня на камне)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Забавный треугольник
СообщениеДобавлено: 17 июл 2019, 16:05 
В сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7566
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2749 раз в 2537 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Забавная ситуация. Я решал как раз эту задачу по невнимательности, посчитав, что точка [math]N[/math] находится на стороне [math]AC[/math], потому что требовалось найти отношение [math]AN \,\colon NC[/math], а на самом деле эта точка была задана в Вашем первом посте на стороне [math]BC[/math]. Но с такой формулировкой непонятно, как искать это отношение, если точки [math]A, \; N, \; C[/math] не лежат на одной прямой (речь идет о предыдущей формулировке задачи).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Забавный треугольник
СообщениеДобавлено: 17 июл 2019, 19:21 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,
А если предположить что все три отношения отрезков не равны между собой, то есть:
AZ/ZE=x
BE/EC=y
MZ/ZN=z
С точки зрения геометрии масс данная задача легко разрешима, а с точки зрения евклидовой геометрии?
Понятное дело что имею в виду второй, решённый Вами вариант, так как первый, как раз, не сильно подходит для решения геометрии масс} если честно, я там просто допустил опечатку)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Забавный треугольник
СообщениеДобавлено: 17 июл 2019, 19:33 
В сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7566
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2749 раз в 2537 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я как-раз и хотел предложить Вам взять разные отношения, чтобы не возникали подобные треугольники или параллельные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Забавный треугольник
СообщениеДобавлено: 17 июл 2019, 20:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,
Пишу с телефона, потому не оформляю формулы
BE/EC=x=>BE=xEC
1B*xEC=cC*EC=>c=x
eE=1B+xC=(1+x)E
EZ/ZA=y=>EZ=yAZ
(1+x)E*yAZ=aA*AZ=>a=y(1+x)
zZ=eE+aA=(y(1+x)+(1+x))Z=(1+x)(1+y)Z
NZ/ZM=z=>NZ=zZM
nN*zZM=mM*ZM=>m=nz
nN+mM=(n+m)Z=zZ
n(1+z)=(1+x)(1+y)=>n=(1+x)(1+y)/(1+z)
m=z(1+x)(1+y)/(1+z)
a1A1=mM-bB=>a1=[z(1+x)(1+y)-(1+z)]/(1+z)
a2A2=nN-cC=>a2=[(1+x)(1+y)-x(1+z)]/(1+z)
AM/MB=1/a1
AN/NC=х/a2
Вроде сходу так)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
В треугольник вписать подобный ему треугольник

в форуме Геометрия

ferma-T

6

344

26 апр 2021, 19:55

Треугольник вписан в треугольник

в форуме Геометрия

Avgust

2

339

27 мар 2021, 02:05

Треугольник, вписанный в треугольник

в форуме Геометрия

Ukselus

3

519

12 фев 2021, 22:58

Треугольник

в форуме Геометрия

nicat

13

1053

20 апр 2015, 19:01

Треугольник

в форуме Геометрия

nicat

9

490

20 апр 2015, 00:17

Треугольник

в форуме Геометрия

elis_bekir

5

308

19 апр 2015, 15:11

Треугольник

в форуме Геометрия

nicat

5

279

22 апр 2015, 14:08

Треугольник

в форуме Геометрия

nicat

2

266

18 апр 2015, 08:07

Треугольник

в форуме Геометрия

sema_90

13

575

09 янв 2018, 23:27

Треугольник

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Furzent

2

151

14 янв 2018, 21:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 23


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved