Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на построение. Вписанные углы
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 23:15 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 229
Cпасибо сказано: 101
Спасибо получено:
8 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача 60 из учебника Погорелова по геометрии, 9-ый класс.
«Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу, и высоте, проведенной из вершины этого угла.»

Вводная информация:
Теорема 11.5, стр. 162-163: «Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. Вписанные углы окружности, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ равны между собой. В частности, углы, опирающиеся на диаметр, прямые.»
Изображение
Геометрическое место вершин углов с заданной град. мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках. См. рис. а).

Изображение

Пришлось использовать Автокад, одним пэйнтбрашем здесь не обойтись. Для удобства берём какие-то определённые величины для стороны треугольника, высоты и противолежащего угла.
Вопрос, с чего начинать (изображать прежде отрезок АВ или противолежащий угол треугольника), не принципиален.
1) Я постулировал, что данный острый угол-вписанный в некую окружность, и лежит на некой хорде, являющейся данной стороной треугольника. Нужно найти центр описанной окружности и её радиус.
Полагаем двойной противолежащий угол центральным углом описанной окружности. Осуществляем симметрию относ. одной стороны заданного угла, в нашем случае он у нас острый и равен 35 градусам. Ось симметрии это биссектриса центрального угла=70 градусов (угол О, вершина которого-центр описанной oкружности). Дальше, изображаем отрезок АВ с серединой в т. М перпендикулярно биссектрисе (для этого понадобится разделить отрезок пополам, точка М), и по «направляющим», параллельным биссектрисе находим расположение хорды АВ. Но нам нужно было найти и радиус опис. окружности, конечно же.
2) Рисуем окружность с ц. в т. О и с найденным радиусом, можно для наглядности изобразить вписанный угол на хорде АВ, который равен 35 град., половине центр. угла О.
3) Откладываем от хорды АВ параллельную ей прямую на расстоянии высоты h, находим точки пересечения с опис. окружностью (С и D), рисуем наш треугольник. Рисуем треугольник по трём точкам:ABC либо ABD.

Жёлтые тонкие и толстые сплошные-изначально заданные элементы для построения.
Красные тонкие сплошные-элементы описанной окружности.
Белые тонкие штриховые линии-вспомогательные построения.
Синие толстые и тонкие сплошные и штриховые-элементы осуществлённого построения, проще говоря, -решение задачи.
Думаю, что без всей вводной информацию задачу 60 решить нереально. Если кто-нибудь предложит методы решения данной задачи на построение без использования вписанных углов, будет очень интересно посмотреть.

ЗЫ: Первый раз в планиметрии, большая просьба не судить слишком строго за исполнение чертежей.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение. Вписанные углы
СообщениеДобавлено: 08 май 2019, 00:54 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 229
Cпасибо сказано: 101
Спасибо получено:
8 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я сам пытался решить эту задачу без вписанных углов, но у меня ничего не получилось. Если кому-то удастся без мудрёных теорем, то будет здорово.
Вписанные и центральные углы:
Изображение
Впис. углы, опирающиеся на диаметр-прямые.
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение. Вписанные углы
СообщениеДобавлено: 08 май 2019, 08:38 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4688
Cпасибо сказано: 77
Спасибо получено:
1004 раз в 913 сообщениях
Очков репутации: 216

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не совсем понятно, как находили радиус описанной окружности. Наиболее простой способ нахождения центра: от концов АВ отложить прямые с углом [math]\pi \slash 2- \alpha[/math] к отрезку. А в целом все верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Pavel_Kotoff
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение. Вписанные углы
СообщениеДобавлено: 08 май 2019, 08:48 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 3722
Cпасибо сказано: 109
Спасибо получено:
1258 раз в 1169 сообщениях
Очков репутации: 180

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Без окружности эта задача точно не решается. Вообще все интересные задачи на построение решаются с помощью окружностей. Что касается геометрических программ, которые можно использовать для построения, то рекомендую Живую геометрию и Geogebra, с помощью которых можно делать абсолютно точные чертежи с заданными длинами и углами. В школах должен быть Математический конструктор пятой версии (развитие Живой Геометрии). Математический конструктор третьей версии можно скачать абсолютно легально. Также Geogebra любой версии является бесплатным продуктом. В интернете можно найти Живую геометрию четвертой версии (вместе с со стереометрическим альбомом В.Дубровского, который ориентирован на учебник Погорелова), которая не требует вообще установки (один исполняемый файл объемом 2,2 мегабайта!).В Geogebra 5 версии можно выполнять точные 3D построения призм, пирамид, любых многогранников и даже тел вращения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Pavel_Kotoff
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение. Вписанные углы
СообщениеДобавлено: 08 май 2019, 11:14 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 229
Cпасибо сказано: 101
Спасибо получено:
8 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Cпасибо Вам большое, michel, за перечень программ, Автокад громоздкий, конечно, слишком...


Последний раз редактировалось Pavel_Kotoff 08 май 2019, 12:14, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение. Вписанные углы
СообщениеДобавлено: 08 май 2019, 11:25 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 229
Cпасибо сказано: 101
Спасибо получено:
8 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Swan:"Не совсем понятно, как находили радиус описанной окружности."
Я находил центральный угол лежащий на хорде опис. окружн.-стороне треугольника, который нужно построить. Это тоже треугольник, равнобедренный, естественно, ведь радиусы одной и той же окружности равны, а вершина не при основаниях-двойной заданный острый угол, противолежащий стороне (он строится симметрией острого угла относ. его стороны: перпендикулярчик с одной ст. угла до другой, такой же от оси симметрии с другой стороны и равенство двух прямоуг. треугольников по двум катетам).
Биссектриса любого равнобедр. треугольника, проведенная из вершины угла не при основаниях, это его медиана и высота. Немножко наивно, конечно: провёл биссектрису центр. угла, основание-нашу хорду разделил пополам (полагаю, деление отрезка пополам рассматривать здесь не будем), и параллельно биссектрисе центр. угла от концов стороны-будущей хорды провел вспомогательные линии до пересечения со сторонами центр. угла. Это показано пунктирными стрелками. Стороны треугольника из центр. угла. лежащего на хорде опис. окружности, это и есть её радиусы.
Надо было, наверное, центр. угол, начало всех наших построений, изображать под неким наклоном, так очевиднее: cм. картинку справа.
От биссектрисы ц. угла перпендикулярно откладываем половинки стороны треугольника, и делать "направляющие" до пересечения со сторонами центр. угла. Данная сторона треугольника из условия, она же хорда опис. окружности, находится внутри сторон центр. угла. Надеюсь, я понятно изложил свой метод.

Можно и так: сначала строить сторону, проводить высоту из середины, строить двойной угол, биссектриса которого-наша высота, и по перпенд. "направляющим" из концов стороны находить точки пересечения со сторонами ц. угла, и, соотв., радиус описанной окружности.
Я поэтому и сказал в начале темы: "Вопрос, с чего начинать (изображать прежде отрезок АВ или противолежащий угол треугольника), не принципиален."
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение. Вписанные углы
СообщениеДобавлено: 08 май 2019, 12:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1535
Cпасибо сказано: 313
Спасибо получено:
259 раз в 240 сообщениях
Очков репутации: 40

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача решается элементарно.

1. На заданной стороне откладываете произвольный заданный угол.
2. По 3 точкам - 2 вершины и угол строите окружность (по 3 точкам).
3. Строите прямую параллельную стороне и отстоящую от неё на расстояние равное высоте.
2. 2 точки пересечения параллели и построенной окружности дадут два искомых конгруэнтных треугольника.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение. Вписанные углы
СообщениеДобавлено: 08 май 2019, 12:58 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 май 2017, 23:18
Сообщений: 229
Cпасибо сказано: 101
Спасибо получено:
8 раз в 7 сообщениях
Очков репутации: -1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2. "По 3-ём точкам-2 вершины и угол строите окружность." По каким именно трём точкам: по двум концам заданной стороны и любой точке на стороне отложенного от одной из вершин заданного угла?
Что-то похожее? Так и угол у нас же противолежащий, а не прилежащий

Ну вот что-то такое, да? Данная сторона, противолежащий ей угол. Что будем делать дальше?
Изображение


Последний раз редактировалось Pavel_Kotoff 08 май 2019, 13:36, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение. Вписанные углы
СообщениеДобавлено: 08 май 2019, 13:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1535
Cпасибо сказано: 313
Спасибо получено:
259 раз в 240 сообщениях
Очков репутации: 40

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Pavel_Kotoff писал(а):
2. "По 3-ём точкам-2 вершины и угол строите окружность." По каким именно трём точкам: по двум концам заданной стороны и любой точке на стороне отложенного от одной из вершин заданного угла? Получается, хорда, и точка на дуге окружности, соед. концы этой хорды? Построение окр. по 3-ём точкам.


Да, если дана сторона АВ, то откладываете заданный угол α, таким образом что бы его стороны проходили через точки А и В. Если не знаете как это сделать, то идете от обратного, так как у Вас по условию задан угол, то считается что Вы можете его отложить по умолчанию. Откладываете угол, продолжаете его стороны. В одну из сторон втыкаете циркуль и радиусом равным АВ пересекаете вторую сторону угла.
Таким образом получаете 3 точки АВС. После чего откладываете от 2 сторон треугольника АВС серединные перпендикуляры, точка их пересечения будет центром искомой окружности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на построение. Вписанные углы
СообщениеДобавлено: 08 май 2019, 13:23 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1535
Cпасибо сказано: 313
Спасибо получено:
259 раз в 240 сообщениях
Очков репутации: 40

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот самая сложная, из тех что мне известно, задача на построение треугольника:

"где-то классе в 9 нам задали "на завтра" задачу: построить тр-к по основанию; высоте, опущенной на это основание и разности углов при этом основании. Время на решение - один вечер. Похвастаюсь по-стариковски: я ее решил один из класса, а в классе были ребята ого-го (45 интернат в Ленинграде). Решите на досуге" (с) e371.
Авторская пунктуация сохранена.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Pavel_Kotoff
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4  След.  Страница 1 из 4 [ Сообщений: 35 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
ВНО по геометрии. Вписанные углы в окружность

в форуме Геометрия

KonstantinLypskyi

1

143

16 апр 2017, 15:59

Найти угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются

в форуме Геометрия

ruslanjkee64

0

1221

13 дек 2011, 13:32

Задача 8 кл. Найти углы треугольника

в форуме Геометрия

nata_leb

2

637

02 апр 2013, 16:44

Геометрическая задача определите углы треугольника АВС

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Revan

49

1591

02 окт 2014, 17:51

Задача по стереометрии - Найти углы трапеции

в форуме Геометрия

maxandreev

1

947

02 мар 2011, 22:56

Сферы вписанные в куб

в форуме Геометрия

Woxa999

9

612

01 июл 2015, 20:12

Вписанные окружности

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

mad_math

5

1269

07 май 2013, 10:40

Вписанные и описанные четырехугольники

в форуме Геометрия

bubateh

4

280

08 май 2015, 21:19

Многогранники, вписанные в сферу

в форуме Геометрия

WorldWild

3

221

09 окт 2016, 01:47

Вписанные и описанные окружности

в форуме Геометрия

dasha math

3

576

23 мар 2014, 12:52


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved