Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Занимательный четырехугольник
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 12:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На плоскости задан произвольный выпуклый четырехугольник ABCD пусть MN и KL его средние линии, точка их пересечения Z.
Доказать что |DX|/|XL|=2, |AZ|/|ZX|=3
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Avgust, michel
 Заголовок сообщения: Re: Занимательный четырехугольник
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 13:03 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теорема Менелая.
1) Для треугольника [math]KLD \,\colon[/math] [math]\frac{ LX }{ XD} \cdot \frac{ DA }{ AK } \cdot \frac{ KZ }{ ZL }=1 \Rightarrow \frac{ LX }{ XD } \cdot 2 \cdot 1=1 \Rightarrow \frac{ LX }{ XD } = \frac{ 1 }{ 2 }[/math];
2) Для треугольника [math]AXD \,\colon[/math] [math]\frac{ AZ }{ ZX } \cdot \frac{ XL }{ LD } \cdot \frac{ DK }{ KA }=1 \Rightarrow \frac{ AZ }{ ZX } \cdot \frac{ 1 }{ 3 } \cdot 1=1 \Rightarrow \frac{ AZ }{ ZX }=3[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Занимательный четырехугольник
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 13:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,
усложняем)

На плоскости задан произвольный выпуклый пятиугольник ABCDE, точки O, M и N середины сторон AC, CD и DE соответственно, точки K и L середины отрезков OM и ON, точка Z пересечение прямых CL и KE.
Доказать что |CZ|/|ZL|=|EZ|/|ZK|=4, |OZ|/|ZX|=3/2, |EX|/|XM|=2

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Занимательный четырехугольник
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 14:13 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Проводим отрезки [math]KL, \; CE, \; MN[/math], которые оказываются параллельными (как средние линии соответствующих треугольников). Образуются трапеции [math]KLEC[/math] и [math]MNEC[/math], в которых [math]\frac{ MN }{ EC }=\frac{ 1 }{ 2 }, \; \frac{ KL }{ CE }=\frac{ 1 }{ 4 } \Rightarrow \frac{ CZ }{ ZL }=\frac{ EZ }{ ZK } =4[/math].
2) С учетом пункта 1) применяем теорему Менелая к треугольнику [math]MEK \,\colon[/math] [math]\frac{ MX }{ XE }=\frac{ 1 }{ 2 }[/math].
3) С учетом пунктов 1)-2) применяем теорему Менелая к треугольнику [math]MOX \,\colon[/math] [math]\frac{ OZ }{ ZX }=\frac{ 3 }{ 2 }[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Занимательный четырехугольник
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 14:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
самое интересное, что подобные задачи, как и сама т-ма Минелая решаются без всякого труда при помощи метод геометрических масс...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Занимательный четырехугольник
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 15:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Неужели Вы считаете, что теорема Менелая - это что-то сложное, на самом деле ей уже почти 2000 лет (Менелай Александрийский - около 100 года н.э.), да и во всех учебниках геометрии она фигурирует. А метод геометрических масс ни в одном учебнике не упоминается и для школьников он достаточно тяжеловат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Занимательный четырехугольник
СообщениеДобавлено: 07 май 2019, 16:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не считаю т-му Менелая сложной, в отличие от её доказательства)
Если верить официальной истории, то данный метод придумал Архимед, живущий раньше Менелая))))

Примем |XC|=a, |CA|=b, |AZ|=c, |ZB|=d
bX*a=aA*b
aA*c=nB*d=> n=ac/d
(ac/d+a+b)Y=(ac/d)B+(aA+bX) => Y є BC, BY/YC=(a+b)d/(ac)

Запишем теорему Менелая для данного треугольника

|BY|/|YC|*|CX|/|XA|*|AZ|/|ZB|=1
Подставим наши значения:
(a+b)d/(ac)*a/(a+b)*c/d=1
Изображение
Если смотреть на т-му Менелая с точки зрения МГМ, то и она и т-ма Чевы, не более чем хорошо подобранное отношение отрезков в треугольнике.

Пусть M точка пересечения прямой AY отрезка ВХ, найдем ВМ/МХ.

(ac/d+b)М=(ac/d)B+bX => BM/MX=bd/(ac)
Запишем т-му Чевы:
|XC|/|CA||AZ|/|ZB||BM|/|MX|=a/b*c/d*bd/(ac)=1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

1

349

06 апр 2015, 14:56

Четырёхугольник

в форуме Геометрия

sema_90

5

463

13 ноя 2016, 21:50

Четырёхугольник

в форуме Геометрия

Kristinadefa

1

356

03 окт 2015, 21:14

Четырехугольник

в форуме Геометрия

markmark2

4

175

15 фев 2021, 11:57

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

4

413

06 июн 2015, 09:23

Четырехугольник

в форуме Геометрия

nicat

11

863

13 апр 2015, 10:18

Выпуклый четырехугольник

в форуме Геометрия

spins06

2

806

04 июл 2015, 06:28

Самопересекающийся четырехугольник

в форуме Геометрия

Race

19

1604

16 ноя 2016, 16:02

Мазманаческий четырёхугольник

в форуме Размышления по поводу и без

Xenia1996

3

265

08 ноя 2017, 10:57

Четырехугольник и параллелограмм

в форуме Геометрия

Glotov1

3

216

24 ноя 2021, 17:10


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved