Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Race |
|
|
Доказать что |DX|/|XL|=2, |AZ|/|ZX|=3 |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: Avgust, michel |
||
michel |
|
|
Теорема Менелая.
1) Для треугольника [math]KLD \,\colon[/math] [math]\frac{ LX }{ XD} \cdot \frac{ DA }{ AK } \cdot \frac{ KZ }{ ZL }=1 \Rightarrow \frac{ LX }{ XD } \cdot 2 \cdot 1=1 \Rightarrow \frac{ LX }{ XD } = \frac{ 1 }{ 2 }[/math]; 2) Для треугольника [math]AXD \,\colon[/math] [math]\frac{ AZ }{ ZX } \cdot \frac{ XL }{ LD } \cdot \frac{ DK }{ KA }=1 \Rightarrow \frac{ AZ }{ ZX } \cdot \frac{ 1 }{ 3 } \cdot 1=1 \Rightarrow \frac{ AZ }{ ZX }=3[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Race |
||
Race |
|
|
michel,
усложняем) На плоскости задан произвольный выпуклый пятиугольник ABCDE, точки O, M и N середины сторон AC, CD и DE соответственно, точки K и L середины отрезков OM и ON, точка Z пересечение прямых CL и KE. Доказать что |CZ|/|ZL|=|EZ|/|ZK|=4, |OZ|/|ZX|=3/2, |EX|/|XM|=2 |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: michel |
||
michel |
|
|
1) Проводим отрезки [math]KL, \; CE, \; MN[/math], которые оказываются параллельными (как средние линии соответствующих треугольников). Образуются трапеции [math]KLEC[/math] и [math]MNEC[/math], в которых [math]\frac{ MN }{ EC }=\frac{ 1 }{ 2 }, \; \frac{ KL }{ CE }=\frac{ 1 }{ 4 } \Rightarrow \frac{ CZ }{ ZL }=\frac{ EZ }{ ZK } =4[/math].
2) С учетом пункта 1) применяем теорему Менелая к треугольнику [math]MEK \,\colon[/math] [math]\frac{ MX }{ XE }=\frac{ 1 }{ 2 }[/math]. 3) С учетом пунктов 1)-2) применяем теорему Менелая к треугольнику [math]MOX \,\colon[/math] [math]\frac{ OZ }{ ZX }=\frac{ 3 }{ 2 }[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Race |
||
Race |
|
|
самое интересное, что подобные задачи, как и сама т-ма Минелая решаются без всякого труда при помощи метод геометрических масс...
|
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Неужели Вы считаете, что теорема Менелая - это что-то сложное, на самом деле ей уже почти 2000 лет (Менелай Александрийский - около 100 года н.э.), да и во всех учебниках геометрии она фигурирует. А метод геометрических масс ни в одном учебнике не упоминается и для школьников он достаточно тяжеловат.
|
||
Вернуться к началу | ||
Race |
|
|
Я не считаю т-му Менелая сложной, в отличие от её доказательства)
Если верить официальной истории, то данный метод придумал Архимед, живущий раньше Менелая)))) Примем |XC|=a, |CA|=b, |AZ|=c, |ZB|=d bX*a=aA*b aA*c=nB*d=> n=ac/d (ac/d+a+b)Y=(ac/d)B+(aA+bX) => Y є BC, BY/YC=(a+b)d/(ac) Запишем теорему Менелая для данного треугольника |BY|/|YC|*|CX|/|XA|*|AZ|/|ZB|=1 Подставим наши значения: (a+b)d/(ac)*a/(a+b)*c/d=1 Если смотреть на т-му Менелая с точки зрения МГМ, то и она и т-ма Чевы, не более чем хорошо подобранное отношение отрезков в треугольнике. Пусть M точка пересечения прямой AY отрезка ВХ, найдем ВМ/МХ. (ac/d+b)М=(ac/d)B+bX => BM/MX=bd/(ac) Запишем т-му Чевы: |XC|/|CA||AZ|/|ZB||BM|/|MX|=a/b*c/d*bd/(ac)=1 |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Четырехугольник
в форуме Геометрия |
1 |
349 |
06 апр 2015, 14:56 |
|
Четырёхугольник
в форуме Геометрия |
5 |
463 |
13 ноя 2016, 21:50 |
|
Четырёхугольник
в форуме Геометрия |
1 |
356 |
03 окт 2015, 21:14 |
|
Четырехугольник
в форуме Геометрия |
4 |
175 |
15 фев 2021, 11:57 |
|
Четырехугольник
в форуме Геометрия |
4 |
413 |
06 июн 2015, 09:23 |
|
Четырехугольник
в форуме Геометрия |
11 |
863 |
13 апр 2015, 10:18 |
|
Выпуклый четырехугольник
в форуме Геометрия |
2 |
806 |
04 июл 2015, 06:28 |
|
Самопересекающийся четырехугольник
в форуме Геометрия |
19 |
1604 |
16 ноя 2016, 16:02 |
|
Мазманаческий четырёхугольник
в форуме Размышления по поводу и без |
3 |
265 |
08 ноя 2017, 10:57 |
|
Четырехугольник и параллелограмм
в форуме Геометрия |
3 |
216 |
24 ноя 2021, 17:10 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |