Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
FEBUS |
|
|
Из точки пересечения диагоналей опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров суть точки [math]A, B, C, D.[/math] Доказать, что четырехугольник [math]ABCD[/math] вписанный, и в него вписана окружность. |
||
Вернуться к началу | ||
Dotsent |
|
|
FEBUS
▼
|
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
Dotsent
|
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Перпендикулярность диагоналей исходного четырехугольника можно установить (не привлекая теорему косинусов) через теорему Пифагора, используя соотношения между сторонами четырех треугольников (две пары подобных), на которые разбивается диагоналями исходный четырехугольник. Но это - не самая интересная часть задачи, которую сразу можно было сформулировать для описанного исходного четырехугольника с перпендикулярными диагоналями. Хотя доказательство не сложное (по словам Dotsent'а), но сам факт - красивый (новый четырехугольник одновременно является вписанным и описанным), причем точка пересечения диагоналей является центром вписанной окружности.
Доказательство перпендикулярности диагоналей [math]AC[/math] и [math]BD[/math] проведем через проверку выполнения теоремы Пифагора для двух пар предполагаемых подобных прямоугольных треугольников. Обозначим точку пересечения диагоналей через [math]M[/math], по условию [math]AB=1,BC=7,CD=8,AD=4[/math]. Имеем две пары подобных треугольников [math]AMD \sim BMC[/math] с коэфициентом подобия [math]k=\frac{ AD }{ BC }=\frac{ 4 }{ 7 }[/math] и [math]AMB \sim CMD[/math] с [math]k=\frac{ CD }{ AB }=8[/math]. Положим [math]x=AM,y=BM,AB^2=x^2+y^2=1,CD^2=k^2(x^2+y^2)=64[/math]. С другой стороны (с учетом отношения сторон подобных треугольников) [math]AD^2=(k^2+1)x^2=16,BC^2=(k^2+1)y^2=49[/math]. Суммы для этих двух пар квадратов равны 65, т.е. теорема Пифагора действительно выполняется. Попутно установили ещё одно замечательное соотношение для сумм квадратов противоположных сторон описанного четырехугольника с перпендикулярными диагоналями: [math]AB^2+CD^2=BC^2+AD^2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Dotsent |
||
FEBUS |
|
|
michel писал(а): Перпендикулярность диагоналей исходного четырехугольника можно установить (не привлекая теорему косинусов) через теорему Пифагора, используя соотношения между сторонами четырех треугольников (две пары подобных), на которые разбивается диагоналями исходный четырехугольник. Можно так. Разность квадратов это — Множество [math]M = \left\{ X | AX^2 - BX^2 = k \right\}[/math] это прямая, перпендикулярная прямой [math]AB[/math]. Здесь [math]A[/math] и [math]B[/math] фиксированные точки, [math]k[/math] — некая константа. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали: Dotsent |
||
Dotsent |
|
|
michel
▼
|
||
Вернуться к началу | ||
Dotsent |
|
|
FEBUS писал(а): Разность квадратов это — Множество [math]M = \left\{ X | AX^2 - BX^2 = k \right\}[/math] это прямая, перпендикулярная прямой [math]AB[/math]. Здесь [math]A[/math] и [math]B[/math] фиксированные точки, [math]k[/math] — некая константа. Ну да, красиво... хоть и не совсем геометрично. |
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
Dotsent писал(а): Ну да, красиво... хоть и не совсем геометрично. У каждого портного свой взгляд на искусство.Вы, надо понимать, крупный спец по геометричности? Заключения выдаете, окончательные и неопровержимые ? |
||
Вернуться к началу | ||
FEBUS |
|
|
michel писал(а): сразу можно было сформулировать для описанного исходного четырехугольника с перпендикулярными диагоналями. Можно было. Но, так более интересно .... , по-моему. |
||
Вернуться к началу | ||
Dotsent |
|
|
FEBUS писал(а): Dotsent писал(а): Ну да, красиво... хоть и не совсем геометрично. У каждого портного свой взгляд на искусство.Вы, надо понимать, крупный спец по геометричности? Заключения выдаете, окончательные и неопровержимые ? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Вписано-описанный четырёхугольник
в форуме Геометрия |
5 |
413 |
28 янв 2020, 22:07 |
|
Четырехугольник. Задача для любителей | 5 |
609 |
13 сен 2018, 21:39 |
|
Описанный куб
в форуме Геометрия |
16 |
754 |
30 май 2016, 00:25 |
|
Геометрия . Описанный треугольник
в форуме Геометрия |
3 |
1443 |
24 сен 2014, 08:32 |
|
Неравенство. Для любителей | 4 |
514 |
06 июл 2018, 02:39 |
|
Информация для любителей ВТФ
в форуме Объявления участников Форума |
0 |
244 |
11 окт 2018, 13:58 |
|
Круг, описанный около треугольника
в форуме Геометрия |
9 |
628 |
02 мар 2019, 20:40 |
|
Параметр для любителей и профессионалов | 8 |
770 |
16 июл 2018, 20:41 |
|
Треугольник описанный около не начерченного эллипса
в форуме Геометрия |
5 |
215 |
01 сен 2021, 15:57 |
|
Заходите на форум любителей головоломок
в форуме Объявления участников Форума |
0 |
402 |
15 июн 2016, 01:51 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |