Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии
СообщениеДобавлено: 07 июл 2018, 11:58 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
361 раз в 298 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Четырехугольник со сторонами [math]1, 7, 8, 4[/math] вписан в окружность.
Из точки пересечения диагоналей опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров суть точки [math]A, B, C, D.[/math]
Доказать, что четырехугольник [math]ABCD[/math] вписанный, и в него вписана окружность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии
СообщениеДобавлено: 08 июл 2018, 12:37 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 14:03
Сообщений: 721
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 99
Спасибо получено:
288 раз в 234 сообщениях
Очков репутации: 96

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS

Не подскажите, а есть красивое доказательство (без Теоремы косинусов) перпендикулярности диагоналей исходного четырёхугольника (из которой легко доказываются, через вписанные углы, оба искомых утверждения)?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии
СообщениеДобавлено: 08 июл 2018, 13:06 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
361 раз в 298 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dotsent
Конечно. Теорема Пифагора.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии
СообщениеДобавлено: 08 июл 2018, 15:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 5402
Cпасибо сказано: 158
Спасибо получено:
1973 раз в 1825 сообщениях
Очков репутации: 269

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Перпендикулярность диагоналей исходного четырехугольника можно установить (не привлекая теорему косинусов) через теорему Пифагора, используя соотношения между сторонами четырех треугольников (две пары подобных), на которые разбивается диагоналями исходный четырехугольник. Но это - не самая интересная часть задачи, которую сразу можно было сформулировать для описанного исходного четырехугольника с перпендикулярными диагоналями. Хотя доказательство не сложное (по словам Dotsent'а), но сам факт - красивый (новый четырехугольник одновременно является вписанным и описанным), причем точка пересечения диагоналей является центром вписанной окружности.
Доказательство перпендикулярности диагоналей [math]AC[/math] и [math]BD[/math] проведем через проверку выполнения теоремы Пифагора для двух пар предполагаемых подобных прямоугольных треугольников. Обозначим точку пересечения диагоналей через [math]M[/math], по условию [math]AB=1,BC=7,CD=8,AD=4[/math]. Имеем две пары подобных треугольников [math]AMD \sim BMC[/math] с коэфициентом подобия [math]k=\frac{ AD }{ BC }=\frac{ 4 }{ 7 }[/math] и [math]AMB \sim CMD[/math] с [math]k=\frac{ CD }{ AB }=8[/math]. Положим [math]x=AM,y=BM,AB^2=x^2+y^2=1,CD^2=k^2(x^2+y^2)=64[/math]. С другой стороны (с учетом отношения сторон подобных треугольников) [math]AD^2=(k^2+1)x^2=16,BC^2=(k^2+1)y^2=49[/math]. Суммы для этих двух пар квадратов равны 65, т.е. теорема Пифагора действительно выполняется. Попутно установили ещё одно замечательное соотношение для сумм квадратов противоположных сторон описанного четырехугольника с перпендикулярными диагоналями: [math]AB^2+CD^2=BC^2+AD^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Dotsent
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии
СообщениеДобавлено: 08 июл 2018, 16:30 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
361 раз в 298 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Перпендикулярность диагоналей исходного четырехугольника можно установить (не привлекая теорему косинусов) через теорему Пифагора, используя соотношения между сторонами четырех треугольников (две пары подобных), на которые разбивается диагоналями исходный четырехугольник.

Можно так.
Разность квадратов это —
Множество [math]M = \left\{ X | AX^2 - BX^2 = k \right\}[/math] это прямая, перпендикулярная прямой [math]AB[/math]. Здесь [math]A[/math] и [math]B[/math] фиксированные точки, [math]k[/math] — некая константа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю FEBUS "Спасибо" сказали:
Dotsent
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии
СообщениеДобавлено: 08 июл 2018, 16:44 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 14:03
Сообщений: 721
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 99
Спасибо получено:
288 раз в 234 сообщениях
Очков репутации: 96

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
Честно говоря, не совсем понял Вашего доказательства перпендикулярности... Я тоже использовал соотношение отрезков диагоналей (из подобия треугольников), после чего по Теореме косинусов выражаем косинусы двух смежных углов в т. М и, ввиду того, что эти косинусы должны отличаться только знаком, приходим к выводу, что они =0...
..."красивый факт" в данном случае создан искусственным подбором сторон четырёхугольника. Вот описанность нового четырёхугольника, действительно следует только из вписанности исходного. Для доказательства достаточно описать окружности вокруг ещё 4-х четырёхугольников, на которые разбивается исходный перпендикулярами из т. М и рассмотреть соответствующие вписанные углы...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии
СообщениеДобавлено: 08 июл 2018, 16:56 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 14:03
Сообщений: 721
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 99
Спасибо получено:
288 раз в 234 сообщениях
Очков репутации: 96

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS писал(а):
Разность квадратов это —
Множество [math]M = \left\{ X | AX^2 - BX^2 = k \right\}[/math] это прямая, перпендикулярная прямой [math]AB[/math]. Здесь [math]A[/math] и [math]B[/math] фиксированные точки, [math]k[/math] — некая константа.


Ну да, красиво... хоть и не совсем геометрично.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии
СообщениеДобавлено: 08 июл 2018, 19:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
361 раз в 298 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dotsent писал(а):
Ну да, красиво... хоть и не совсем геометрично.
У каждого портного свой взгляд на искусство.
Вы, надо понимать, крупный спец по геометричности?
Заключения выдаете, окончательные и неопровержимые ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии
СообщениеДобавлено: 08 июл 2018, 19:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
361 раз в 298 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
сразу можно было сформулировать для описанного исходного четырехугольника с перпендикулярными диагоналями.

Можно было.
Но, так более интересно .... , по-моему.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписано-описанный четырехугольник. Для любителей геометрии
СообщениеДобавлено: 08 июл 2018, 20:43 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 14:03
Сообщений: 721
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 99
Спасибо получено:
288 раз в 234 сообщениях
Очков репутации: 96

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
FEBUS писал(а):
Dotsent писал(а):
Ну да, красиво... хоть и не совсем геометрично.
У каждого портного свой взгляд на искусство.
Вы, надо понимать, крупный спец по геометричности?
Заключения выдаете, окончательные и неопровержимые ?


Да не нервничайте Вы так, это вредно (заключение окончательное и неопровержимое :) )
Весьма распространённое суждение предполагает геометричность - в доп. построениях, негеометричность - в уравнениях пр. мат. аппарате не геометрического происхождения

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вписано-описанный четырёхугольник

в форуме Геометрия

FEBUS

5

197

28 янв 2020, 22:07

Четырехугольник. Задача для любителей

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

FEBUS

5

383

13 сен 2018, 21:39

Описанный куб

в форуме Геометрия

1805

16

604

30 май 2016, 00:25

Вписанный/описанный треугольник

в форуме Геометрия

Fozar

5

857

13 май 2013, 17:59

Геометрия . Описанный треугольник

в форуме Геометрия

Businka

3

1314

24 сен 2014, 08:32

Вписанный и описанный треугольник

в форуме Геометрия

olbana

3

932

09 дек 2010, 14:56

Круг, описанный около треугольника

в форуме Геометрия

Fediono

9

242

02 мар 2019, 20:40

Информация для любителей ВТФ

в форуме Объявления участников Форума

Andy

0

151

11 окт 2018, 13:58

Неравенство. Для любителей

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

FEBUS

4

264

06 июл 2018, 02:39

Параметр для любителей и профессионалов

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Anatole

8

472

16 июл 2018, 20:41


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot], Race и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved