Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 2 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу Пред. 1, 2 |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Li6-D |
|
|
IvanSavkiv писал(а): Было бы хорошо подробнее, если можете) Вы уже решили задачу координатным методом и не всякий преподаватель положительно отнесется к другим способам, так как он может подумать, что Вы "плаваете" по текущей теме обучения. Не исключено, что иные способы будут восприняты как ересь. Для решения задачи в общей постановке удобно воспользоваться геометрией масс. Поместим в вершины треугольника ABC грузы массой [math]\alpha ,\beta ,\gamma[/math]. Пусть точка O – центр масс системы, [math]{J_O}[/math] - полярный момент инерции относительно центра масс: [math]{J_O}= \alpha{\left|{OA}\right|^2}+ \beta{\left|{OB}\right|^2}+ \gamma{\left|{OC}\right|^2}[/math] (1). По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции относительно произвольной точки P в плоскости треугольника равен: [math]{J_P}= \alpha{\left|{PA}\right|^2}+ \beta{\left|{PB}\right|^2}+ \gamma{\left|{PC}\right|^2}={J_O}+ (\alpha + \beta + \gamma ){\left|{OP}\right|^2}[/math] (2). Пусть [math]\gamma = - 1;\;\alpha + \beta \ne 1;\;\alpha ,\beta > 0[/math]. Каково ГМТ, таких что [math]{J_P}= 0[/math]? Из формулы (2) найдем, что [math]{\left|{OP}\right|^2}= - \frac{{{J_O}}}{{\alpha + \beta - 1}}[/math] (3). Так как в правой части константы, то и в левой [math]\left|{OP}\right| = const[/math], то есть искомое ГМТ – окружность. Все хорошо, но как вычислить [math]{J_O}[/math] для подстановки в (3)? Нам поможет не (1), а формула найденная Лагранжем, Пуансо и Якоби (смотри параграф 9 книги Балка М., Болтянского В. «Геометрия масс» библиотечки «Квант» или статью Дубровского В. «Метод масс в геометрии», журнал «Квант» № 7 за 1984 г): [math]{J_O} = \frac{{\alpha \beta {{\left| {AB} \right|}^2} + \alpha ( - 1){{\left| {AC} \right|}^2} + \beta ( - 1){{\left| {BC} \right|}^2}}}{{\alpha + \beta - 1}} \Rightarrow \left| {OP} \right| = \frac{{\sqrt {\alpha {{\left| {AC} \right|}^2} + \beta {{\left| {BC} \right|}^2} - \alpha \beta {{\left| {AB} \right|}^2}} }}{{\alpha + \beta - 1}}[/math]. В задаче по теме треугольник равносторонний, [math]\alpha = \beta = 1[/math], поэтому [math]\left|{OP}\right| = \left|{AB}\right|[/math]. Теперь приступим к нахождению центра масс (центра окружности O), например так: Нарисуем в точках A и B круги радиуса [math]{\alpha ^{- 1}}[/math] и [math]{\beta ^{- 1}}[/math] соответственно и построим центр их внутреннего подобия [math]{O_c}[/math]. Затем в полученном центре нарисуем круг радиуса [math]{\left({\alpha + \beta}\right)^{- 1}}[/math], а в точке A – круг радиуса [math]-{\gamma ^{- 1}}= 1[/math] и найдем центр их внешнего подобия, который и окажется искомой точкой O. Для нашей задачи точка O будет симметрична C относительно середины отрезка AB. Вы можете спросить, а что произойдет с ГМТ при [math]\alpha + \beta = 1[/math], ведь точка O «улетает» куда-то в бесконечность? Утверждаю без доказательства – ГМТ выродится во вполне определенную прямую линию, которая проходит через середину отрезка [math]C{O_c}[/math] и перпендикулярно ему. |
||
Вернуться к началу | ||
Li6-D |
|
|
Li6-D писал(а): ...Вы можете спросить, а что произойдет с ГМТ при [math]\alpha + \beta = 1[/math], ведь точка O «улетает» куда-то в бесконечность? Утверждаю без доказательства – ГМТ выродится во вполне определенную прямую линию, которая проходит через середину отрезка [math]C{O_c}[/math] и перпендикулярно ему. Поправлюсь пока не закидали помидорами. Прямая проходит перпендикулярно [math]C{O_c}[/math] на расстоянии [math]\frac{{\alpha (1 - \alpha )}}{2}\frac{{{{\left|{AB}\right|}^2}}}{{\left|{C{O_c}}\right|}}[/math] от середины [math]C{O_c}[/math], ближе к точке [math]{O_c}[/math]. Например, при [math]\alpha = \beta = \frac{1}{2}[/math] для равностороннего треугольника ABC подсчет дает [math]\frac{1}{6}\left| {C{O_c}} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left| {AB} \right|[/math]. То есть в данном случае прямая проходит через центр треугольника ABC. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2 | [ Сообщений: 12 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти сторону равностороннего треугольника
в форуме Геометрия |
2 |
1349 |
04 дек 2016, 22:03 |
|
Задача на построение равностороннего треугольника
в форуме Геометрия |
7 |
618 |
16 июн 2018, 16:38 |
|
Построить две прямые через точку внутри угла
в форуме Геометрия |
4 |
210 |
20 мар 2022, 14:13 |
|
Точка внутри треугольника | 2 |
610 |
17 фев 2017, 16:27 |
|
Длина отрезка внутри прямоугольного треугольника
в форуме Тригонометрия |
3 |
471 |
15 янв 2018, 11:46 |
|
Точка внутри треугольника должна быть ортоцентром
в форуме Геометрия |
8 |
351 |
09 янв 2021, 02:11 |
|
На оси Ох найти точку С зная площадь треугольника | 1 |
872 |
19 дек 2016, 18:56 |
|
Приблизительное построение равностороннего девятиугольника ?
в форуме Геометрия |
1 |
301 |
01 июл 2017, 01:41 |
|
Треугольник и точка О внутри
в форуме Геометрия |
2 |
204 |
30 авг 2021, 20:09 |
|
Треугольники внутри пятиугольника
в форуме Геометрия |
7 |
357 |
06 окт 2021, 12:11 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |