Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Внутри равностороннего треугольника выбрали точку
СообщениеДобавлено: 16 июн 2018, 17:03 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
IvanSavkiv писал(а):
Было бы хорошо подробнее, если можете)

Вы уже решили задачу координатным методом и не всякий преподаватель положительно отнесется к другим способам, так как он может подумать, что Вы "плаваете" по текущей теме обучения. Не исключено, что иные способы будут восприняты как ересь.

Для решения задачи в общей постановке удобно воспользоваться геометрией масс.

Поместим в вершины треугольника ABC грузы массой [math]\alpha ,\beta ,\gamma[/math].
Пусть точка O – центр масс системы, [math]{J_O}[/math] - полярный момент инерции относительно центра масс:
[math]{J_O}= \alpha{\left|{OA}\right|^2}+ \beta{\left|{OB}\right|^2}+ \gamma{\left|{OC}\right|^2}[/math] (1).

По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции относительно произвольной точки P в плоскости треугольника равен:
[math]{J_P}= \alpha{\left|{PA}\right|^2}+ \beta{\left|{PB}\right|^2}+ \gamma{\left|{PC}\right|^2}={J_O}+ (\alpha + \beta + \gamma ){\left|{OP}\right|^2}[/math] (2).
Пусть [math]\gamma = - 1;\;\alpha + \beta \ne 1;\;\alpha ,\beta > 0[/math].
Каково ГМТ, таких что [math]{J_P}= 0[/math]?

Из формулы (2) найдем, что [math]{\left|{OP}\right|^2}= - \frac{{{J_O}}}{{\alpha + \beta - 1}}[/math] (3).
Так как в правой части константы, то и в левой [math]\left|{OP}\right| = const[/math], то есть искомое ГМТ – окружность.

Все хорошо, но как вычислить [math]{J_O}[/math] для подстановки в (3)?
Нам поможет не (1), а формула найденная Лагранжем, Пуансо и Якоби (смотри параграф 9 книги Балка М., Болтянского В. «Геометрия масс» библиотечки «Квант» или статью Дубровского В. «Метод масс в геометрии», журнал «Квант» № 7 за 1984 г):
[math]{J_O} = \frac{{\alpha \beta {{\left| {AB} \right|}^2} + \alpha ( - 1){{\left| {AC} \right|}^2} + \beta ( - 1){{\left| {BC} \right|}^2}}}{{\alpha + \beta - 1}} \Rightarrow \left| {OP} \right| = \frac{{\sqrt {\alpha {{\left| {AC} \right|}^2} + \beta {{\left| {BC} \right|}^2} - \alpha \beta {{\left| {AB} \right|}^2}} }}{{\alpha + \beta - 1}}[/math].

В задаче по теме треугольник равносторонний, [math]\alpha = \beta = 1[/math], поэтому [math]\left|{OP}\right| = \left|{AB}\right|[/math].

Теперь приступим к нахождению центра масс (центра окружности O), например так:
Нарисуем в точках A и B круги радиуса [math]{\alpha ^{- 1}}[/math] и [math]{\beta ^{- 1}}[/math] соответственно и построим центр их внутреннего подобия [math]{O_c}[/math].
Затем в полученном центре нарисуем круг радиуса [math]{\left({\alpha + \beta}\right)^{- 1}}[/math], а в точке A – круг радиуса [math]-{\gamma ^{- 1}}= 1[/math] и найдем центр их внешнего подобия, который и окажется искомой точкой O.
Для нашей задачи точка O будет симметрична C относительно середины отрезка AB.

Вы можете спросить, а что произойдет с ГМТ при [math]\alpha + \beta = 1[/math], ведь точка O «улетает» куда-то в бесконечность?
Утверждаю без доказательства – ГМТ выродится во вполне определенную прямую линию, которая проходит через середину отрезка [math]C{O_c}[/math] и перпендикулярно ему.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Внутри равностороннего треугольника выбрали точку
СообщениеДобавлено: 16 июн 2018, 19:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1204
Cпасибо сказано: 288
Спасибо получено:
679 раз в 545 сообщениях
Очков репутации: 148

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Li6-D писал(а):
...Вы можете спросить, а что произойдет с ГМТ при [math]\alpha + \beta = 1[/math], ведь точка O «улетает» куда-то в бесконечность?
Утверждаю без доказательства – ГМТ выродится во вполне определенную прямую линию, которая проходит через середину отрезка [math]C{O_c}[/math] и перпендикулярно ему.

Поправлюсь пока не закидали помидорами.
Прямая проходит перпендикулярно [math]C{O_c}[/math] на расстоянии [math]\frac{{\alpha (1 - \alpha )}}{2}\frac{{{{\left|{AB}\right|}^2}}}{{\left|{C{O_c}}\right|}}[/math] от середины [math]C{O_c}[/math], ближе к точке [math]{O_c}[/math].
Например, при [math]\alpha = \beta = \frac{1}{2}[/math] для равностороннего треугольника ABC подсчет дает [math]\frac{1}{6}\left| {C{O_c}} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left| {AB} \right|[/math].
То есть в данном случае прямая проходит через центр треугольника ABC.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2  Страница 2 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти сторону равностороннего треугольника

в форуме Геометрия

Serj1257839076

2

1349

04 дек 2016, 22:03

Задача на построение равностороннего треугольника

в форуме Геометрия

IvanSavkiv

7

618

16 июн 2018, 16:38

Построить две прямые через точку внутри угла

в форуме Геометрия

Glotov1

4

210

20 мар 2022, 14:13

Точка внутри треугольника

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

chebo

2

610

17 фев 2017, 16:27

Длина отрезка внутри прямоугольного треугольника

в форуме Тригонометрия

volodya

3

471

15 янв 2018, 11:46

Точка внутри треугольника должна быть ортоцентром

в форуме Геометрия

PapiPapi

8

351

09 янв 2021, 02:11

На оси Ох найти точку С зная площадь треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

matkop_500gm

1

872

19 дек 2016, 18:56

Приблизительное построение равностороннего девятиугольника ?

в форуме Геометрия

GridinDm

1

301

01 июл 2017, 01:41

Треугольник и точка О внутри

в форуме Геометрия

Avgust

2

204

30 авг 2021, 20:09

Треугольники внутри пятиугольника

в форуме Геометрия

Glotov1

7

357

06 окт 2021, 12:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved