Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Anatole |
|
|
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, и при этом [math]AB \,\colon CD = 1 \,\colon 2[/math], [math]BD \,\colon AC = 2 \,\colon 3[/math] . Найдите [math]AD \,\colon BC.[/math] Хотелось бы увидеть самое короткое решение от мастеров этого жанра. |
||
Вернуться к началу | ||
Race |
|
|
Хм, вроде бы через пропорцию получаем ответ 4.
1. Пусть диагонали четырехугольника пересекаются в точке О. 2.Так как вписанные углы DAC=DBC, ADB=ACB, BAC=BDC, ABD=ACD то очевидно что треугольник AOD~BOC и AOB~DOC. 3. DC/AB=2 => OC/OB=2=DO/AO => OC=2OB; DO=2AO 4. 2(AO+OC)=3(DO+OB) 5. (3)->(4) 2(AO+2OB)=3(2AO+OB); 2AO+4OB=6AO+3OB =>OB=4AO 6. OB/AO=BC/AD=4 |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: Anatole, michel |
||
michel |
|
|
Пусть О - точка пересечения диагоналей. Тогда [math]AB=x,CD=2x[/math]. Из подобия [math]AOB \sim COD[/math] следует: [math]AO=y,OD=2y,BO=z,OC=2z[/math]. По условию задачи [math]\frac{ AC }{ BD }=\frac{ AO+OC }{ BO+OD } =\frac{ y+2z }{ z+2y }=\frac{ 3 }{ 2 } \Rightarrow z=4y,AO \,\colon BO=1 \,\colon 4=AD \,\colon BC[/math] (последнее следует из подобия [math]AOD \sim BOC[/math])
Последний раз редактировалось michel 26 фев 2018, 10:29, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Anatole |
||
Race |
|
|
Через теорему косинусов тоже легко решается:
Пусть [math]AB=x; DC=2x; AC=3y; BD=2y[/math], а [math]AD=a; BC=b[/math] Тогда так как [math]\angle ABD= \angle ACD = \alpha[/math] то [math]cos \alpha =\frac{ 4y^{2}+x^{2}- a^{2} }{ 4xy} =\frac{ 9y^{2}+4x^{2}-a^{2} }{12xy }[/math], откуда получаем: [math]a^{2}=\frac{ 3y^{2}-x^{2} }{ 2 }[/math] (1) Аналогично выписываем для [math]BC[/math] и равенства углов [math]\angle CDB= \angle DBA[/math], получаем: [math]b^{2}=8(3y^{2}-x^{2})[/math] (2) (2):(1) [math]\frac{ b }{ a }=\sqrt{8 \cdot 2}=4[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: Anatole |
||
Race |
|
|
Видимо у Вас опечатка.
Последний раз редактировалось Race 26 фев 2018, 10:34, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: michel |
||
michel |
|
|
Да, опечатка. Исправил
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Радикалы против 9-ти классника
в форуме Алгебра |
14 |
682 |
12 ноя 2017, 23:20 |
|
Трапеция против 9-ти классника
в форуме Геометрия |
10 |
670 |
25 сен 2017, 14:11 |
|
Натуральное число против 9-ти классника
в форуме Алгебра |
7 |
816 |
13 фев 2018, 00:07 |
|
Выпуклый n-угольник
в форуме Геометрия |
5 |
823 |
15 июл 2014, 18:11 |
|
Правильный 17-ти угольник
в форуме Геометрия |
2 |
392 |
01 апр 2018, 13:25 |
|
Найти m.угольник с одинаковыми сторонами в геометр, | 4 |
301 |
06 апр 2023, 13:38 |
|
Ферзь против ладьи
в форуме Размышления по поводу и без |
6 |
512 |
23 апр 2017, 17:55 |
|
Клин против десятиклассника
в форуме Школьная физика |
4 |
596 |
20 сен 2018, 01:49 |
|
Образование против шизофрении
в форуме Палата №6 |
5 |
374 |
27 июн 2019, 22:14 |
|
Аналитика против чистой геометрии | 3 |
157 |
21 мар 2023, 19:12 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |