Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вписанный 4-х угольник против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2018, 01:31 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2616
Cпасибо сказано: 220
Спасибо получено:
817 раз в 755 сообщениях
Очков репутации: 205

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наверное, задача не сложная, но у меня заняла много времени.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, и при этом
[math]AB \,\colon CD = 1 \,\colon 2[/math], [math]BD \,\colon AC = 2 \,\colon 3[/math] . Найдите [math]AD \,\colon BC.[/math]

Хотелось бы увидеть самое короткое решение от мастеров этого жанра.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вписанный 4-х угольник против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2018, 10:40 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1333
Cпасибо сказано: 257
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хм, вроде бы через пропорцию получаем ответ 4.
1. Пусть диагонали четырехугольника пересекаются в точке О.
2.Так как вписанные углы DAC=DBC, ADB=ACB, BAC=BDC, ABD=ACD то очевидно что треугольник AOD~BOC и AOB~DOC.
3. DC/AB=2 => OC/OB=2=DO/AO => OC=2OB; DO=2AO
4. 2(AO+OC)=3(DO+OB)
5. (3)->(4) 2(AO+2OB)=3(2AO+OB); 2AO+4OB=6AO+3OB =>OB=4AO
6. OB/AO=BC/AD=4

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Anatole, michel
 Заголовок сообщения: Re: Вписанный 4-х угольник против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2018, 11:07 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2163
Cпасибо сказано: 55
Спасибо получено:
722 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть О - точка пересечения диагоналей. Тогда [math]AB=x,CD=2x[/math]. Из подобия [math]AOB \sim COD[/math] следует: [math]AO=y,OD=2y,BO=z,OC=2z[/math]. По условию задачи [math]\frac{ AC }{ BD }=\frac{ AO+OC }{ BO+OD } =\frac{ y+2z }{ z+2y }=\frac{ 3 }{ 2 } \Rightarrow z=4y,AO \,\colon BO=1 \,\colon 4=AD \,\colon BC[/math] (последнее следует из подобия [math]AOD \sim BOC[/math])


Последний раз редактировалось michel 26 фев 2018, 11:29, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Вписанный 4-х угольник против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2018, 11:12 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1333
Cпасибо сказано: 257
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Через теорему косинусов тоже легко решается:

Пусть [math]AB=x; DC=2x; AC=3y; BD=2y[/math], а [math]AD=a; BC=b[/math]
Тогда так как [math]\angle ABD= \angle ACD = \alpha[/math] то [math]cos \alpha =\frac{ 4y^{2}+x^{2}- a^{2} }{ 4xy} =\frac{ 9y^{2}+4x^{2}-a^{2} }{12xy }[/math], откуда получаем: [math]a^{2}=\frac{ 3y^{2}-x^{2} }{ 2 }[/math] (1)
Аналогично выписываем для [math]BC[/math] и равенства углов [math]\angle CDB= \angle DBA[/math], получаем:
[math]b^{2}=8(3y^{2}-x^{2})[/math] (2)
(2):(1) [math]\frac{ b }{ a }=\sqrt{8 \cdot 2}=4[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Вписанный 4-х угольник против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2018, 11:17 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1333
Cпасибо сказано: 257
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Видимо у Вас опечатка.


Последний раз редактировалось Race 26 фев 2018, 11:34, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Вписанный 4-х угольник против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 26 фев 2018, 11:29 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2163
Cпасибо сказано: 55
Спасибо получено:
722 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, опечатка. Исправил

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Радикалы против 9-ти классника

в форуме Алгебра

Anatole

14

249

13 ноя 2017, 00:20

Трапеция против 9-ти классника

в форуме Геометрия

Anatole

10

225

25 сен 2017, 15:11

Натуральное число против 9-ти классника

в форуме Алгебра

Anatole

7

203

13 фев 2018, 01:07

Правильный 17-ти угольник

в форуме Геометрия

DanyaRRRR

2

77

01 апр 2018, 14:25

Выпуклый n-угольник

в форуме Геометрия

sfanter

5

574

15 июл 2014, 19:11

Тест на сообразительность для 5-классника

в форуме Экономика и Финансы

ALEXIN

10

1724

07 май 2013, 12:55

Ферзь против ладьи

в форуме Размышления по поводу и без

Vadim Shlovikov

6

226

23 апр 2017, 18:55

Обход против часовой стрелки

в форуме Интегральное исчисление

andrewp

0

270

18 дек 2013, 18:11

Вольфрам против Амелина, кто сильнее

в форуме Дискуссионные математические проблемы

ALEXIN

39

1413

06 фев 2015, 10:42

Задача на движение по течению и против течения

в форуме Алгебра

IrinaKalina

4

512

03 янв 2014, 23:29


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gagarin и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved