Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача на треугольники
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=58119
Страница 1 из 1

Автор:  dmitritch [ 11 фев 2018, 19:02 ]
Заголовок сообщения:  Задача на треугольники

Подскажите пожалуйста простейший способ вычислить X, если известны A,B,C,D. Угол между A и D прямой
Изображение

Автор:  pewpimkin [ 11 фев 2018, 19:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на треугольники

dmitritch, угол прямой?

Автор:  dmitritch [ 11 фев 2018, 19:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на треугольники

pewpimkin писал(а):
dmitritch, угол прямой?

да прямой угол правый нижний

Автор:  Race [ 11 фев 2018, 19:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на треугольники

Можно в лоб, по Герону.
1. Определяем вторую диагональ четырехугольника.
2. Находим его площадь как сумму площадей двух треугольников.
3. Выражаем площадь четырехугольника, как площадь двух треугольников уже через Х.
4. Решаем уравнение.

Но так как построением задача решается элементарно, на мой взгляд должен быть более простой путь.....

Автор:  sergebsl [ 11 фев 2018, 19:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на треугольники

Первая теорема Птолемея:

e f = a c + b d {\displaystyle ef=ac+bd} {\displaystyle ef=ac+bd};
2) Вторая теорема Птолемея: e f = a ⋅ d + b ⋅ c a ⋅ b + c ⋅ d . {\displaystyle {\frac {e}{f}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{a\cdot b+c\cdot d}}.} {\frac {e}{f}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{a\cdot b+c\cdot d}}. В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d, b и c опираются своими концами на диагональ длиной e. Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя. 3) Формулы для длин диагоналей (следствия первой и второй теорем Птолемея):

e = ( a c + b d ) ( a d + b c ) a b + c d {\displaystyle e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}} {\displaystyle e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}} и f = ( a c + b d ) ( a b + c d ) a d + b c {\displaystyle f={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}} {\displaystyle f={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}
Если выпуклый четырёхугольник вписан в некоторую окружность, то в ту же самую окружность вписаны и пара треугольников, на которые разбивает четырёхугольник любая из его диагоналей (связь с окружностями треугольника).

Автор:  Race [ 11 фев 2018, 20:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на треугольники

Так теорема Птоломея как первая так и вторая, для вписанного четырехугольника,а не произвольного.

Можно используя начала анал геометрии.
Возьмем началом координат пересечение A и D. Через А пустим ось х, через D у соответственно.
Определим точку пересечения сторон В и С в некоторой точке Е.
[math]x^{2}+(y-D)^{2}=C^{2}[/math]
[math](x+A)^{2}+y^{2}=B^{2}[/math]
Возводим в квадрат и вычитаем из первого второе получаем:
[math]-2Ax-A^{2}-2yD+D^{2}=C^{2}-B^{2}[/math]
Выражаем х через у и подставляем в 1е или 2е уравнение.
Отвеиваем неподходящую точку (в данном случае абсолютное значение как по х так и по у будет большим у правильной точки)
Далее определяем величину Х, как расстояние от начала координат до точки [math]E(x;y)[/math]

Автор:  michel [ 11 фев 2018, 21:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на треугольники

Загнал в математический пакет систему уравнений от Race, получил следующий ответ для квадрата диагонали:
[math]X^2=\frac{ A^2C^2+B^2D^2 \pm A \cdot D\sqrt{2(A^2B^2+A^2C^2-A^2D^2+B^2C^2+B^2D^2+C^2D^2)-A^4-B^4-C^4-D^4} }{ A^2+D^2 }[/math],
[math]X^2=x^2+y^2[/math], где [math]x,y[/math] - корни системы уравнений.

Автор:  Race [ 11 фев 2018, 21:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на треугольники

Мое решение является аналитическим отображением геометрического построения. Более простого я не вижу...

Автор:  Dotsent [ 11 фев 2018, 22:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача на треугольники

Если можно применять теорему косинусов, то, по-моему, проще выразить через Х косинусы углов, составляющих прямой угол и приравнять единице сумму их квадратов...

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/