Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Правильная шестиугольная пирамида и конус
СообщениеДобавлено: 21 дек 2017, 15:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 дек 2017, 15:15
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сижу с задачкой уже три дня и никак не могу найти решение.
Условие задачи: Дана правильная шестиугольная пирамида. Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды. Найдите тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.
Что я уже делала: рассматривала подобные треугольники, пыталась писать выражения отношения сторон, но остаются две переменные, а я так понимаю необходимо чтобы осталось только число и все.Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Правильная шестиугольная пирамида и конус
СообщениеДобавлено: 21 дек 2017, 17:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
18 авг 2013, 15:27
Сообщений: 1965
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 378
Спасибо получено:
1067 раз в 854 сообщениях
Очков репутации: 197

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Обозначим сторону основания пирамиды за а. Выразим через а образующую конуса.
2. Соединим вершину конуса с точкой касания на боковом ребре пирамиды. Из получившегося прямоугольного треугольника найдём синус угла между боковым ребром и его проекцией. Получаем, что этот угол равен 60 градусов.
3. Выразим высоту пирамиды из прямоугольного треугольника, где эта высота является катетом, а боковое ребро пирамиды - гипотенузой. Получаем, если не ошибаюсь, [math]a\sqrt{3}[/math].
4. Находим тангенс искомого угла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю radix "Спасибо" сказали:
kisssa1989, Slon
 Заголовок сообщения: Re: Правильная шестиугольная пирамида и конус
СообщениеДобавлено: 21 дек 2017, 18:51 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 18:48
Сообщений: 854
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
200 раз в 183 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Давайте вначале поймем, что решение однозначно:
у нас есть вершина конуса, точка [math]O[/math] и основание конуса - вписанный в грань пирамиды круг с центром в [math]O_1[/math] и почему-то [math]OO_1[/math] перпендикулярно грани. А это уже уравнение.
Итак, пусть сторона основание и боковое ребро пирамиды имеют длины a, b, через них все выражается
Сразу, нам достаточно узнать [math]\frac{b}{a}[/math], тогда ответом будет
[math]\tan(OTS) = \frac{SO}{TO} = \frac{\sqrt{b^2-a^2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a} = \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{(\frac{b}{a})^2 - 1}[/math]
Пусть [math]h[/math] - высота боковой грани она легко выражаеться [math]h^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2[/math]
Уравнение для условия перпендикулярности выразим в подобии треугольников [math]OTO_1[/math] и [math]STO[/math]:
[math]\frac{TO_1}{TO} = \frac{TO}{TS} \Leftrightarrow \frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{h}[/math], (1)
где [math]r[/math] радиус круга, мы может найти его из грани со сторонами [math]a, b, b[/math]:
[math]r = \frac{2S}{a+2b} = \frac{ah}{a+2b}[/math]
Итак из (1) получаем, что [math]\frac{3}{4}a^2 = rh = \frac{ah^2}{a+2b} = \frac{a(b^2 - \frac{a^2}{4})}{a+2b} \Rightarrow 2a^2 + 3ab -2b^2 = 0 \Rightarrow \frac{b}{a} = 2[/math]
Все теперь ответ: [math]\tan(OTS) = 2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
kisssa1989
 Заголовок сообщения: Re: Правильная шестиугольная пирамида и конус
СообщениеДобавлено: 21 дек 2017, 20:51 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 18:48
Сообщений: 854
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
200 раз в 183 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
radix писал(а):
1. Обозначим сторону основания пирамиды за а. Выразим через а образующую конуса.
2. Соединим вершину конуса с точкой касания на боковом ребре пирамиды. Из получившегося прямоугольного треугольника найдём синус угла между боковым ребром и его проекцией. Получаем, что этот угол равен 60 градусов.
3. Выразим высоту пирамиды из прямоугольного треугольника, где эта высота является катетом, а боковое ребро пирамиды - гипотенузой. Получаем, если не ошибаюсь, [math]a\sqrt{3}[/math].
4. Находим тангенс искомого угла.

Через образующую проще, согласен!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Правильная шестиугольная пирамида и конус
СообщениеДобавлено: 21 дек 2017, 22:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 дек 2017, 15:15
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, вот образующую в точку касания я не догадалась провести :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Правильная пирамида

в форуме Геометрия

bnr07

1

174

18 фев 2016, 19:36

Правильная пирамида

в форуме Геометрия

Alayne---

4

2392

19 май 2013, 17:14

Правильная пирамида

в форуме Геометрия

Dizplay

1

362

16 дек 2013, 18:39

Правильная пирамида

в форуме Геометрия

Olga1975

2

165

01 дек 2015, 15:54

Правильная пирамида

в форуме Геометрия

murmur

2

304

20 май 2014, 21:28

Правильная треугольная пирамида

в форуме Геометрия

kfranks

13

762

21 ноя 2013, 20:48

Правильная треугольная пирамида

в форуме Геометрия

zhur1n

66

1884

09 июл 2015, 09:17

Правильная треугольная пирамида

в форуме Геометрия

Timych

2

625

24 май 2013, 00:15

Правильная треугольная пирамида

в форуме Геометрия

Annixtell

2

31

12 сен 2018, 13:55

Правильная четырехугольная пирамида

в форуме Геометрия

Annixtell

5

62

08 сен 2018, 19:42


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved