Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 10:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2017, 10:13
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!

Учитель математики задал доказать равенство углов не обычным способом (это несложно), а с помощью построения окружностей (что мы с ребёнком-школьником уже не можем сделать):

На рис. 53 сторона BC=стороне AD, AB=CD, Докажите, что угол B равен углу D методом построения окружностейИзображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 13:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только 1.
2. Доказываете что треугольники ABC и ACD конгруэнтны (равны между собой) => что описанные окружности для обоих из них имеют одинаковый радиус.
3. Строите эти окружности.
4. Так как АС будет общей хордой для обеих и радиус окружностей одинаков, то все вписанные углы, опирающиеся на эту хорду, направленные в одну сторону будут равны между собой.

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/cangle.htm
Тут доступным образом изложена теория.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 15:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race, это конечно здорово.
Но разве равенство углов не следует сразу после п.2?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 16:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Race, это конечно здорово.
Но разве равенство углов не следует сразу после п.2?

Согласен, слабый момент.
Вместо него, можно рассмотреть равенство пар хорд ВС с AD, и AB с DC и опирающихся на них центральных углов, сумма центральных углов для каждойпары хорд будет одинакова, по условию и будет ровняться центральному углу на который опирается хорда АС. Из чего, в свою очередь следует, что углы ABC и CDA равны между собой, как вписанные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 10:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Swan,
спасибо Вам. Первое доказательство не выдерживает никакой критики.
Сегодня появилось время, все начертил, все доказал.

Следует заметить, что условие про равенство противоположных сторон является избыточным, так как в доказательстве не используется.

Изображение
1. Рассмотрим треугольник АВС (что бы не загромождать чертеж и все было понятно).
2. Опишем окружность вокруг треугольника АВС. На хордах АВ и ВС построим центральные углы.
3. Так как центральный угол равен удвоенному значению вписанного угла (направленного в одну с центральным сторону, относительно хорды), то сумма двух центральных углов будет ровняться удвоенному значению суммы углов А и С треугольника АВС.
4. В то же самое время центральный угол АОС опирается на хорду АС, из чего следует, что угол АЕС равен половине значение центрального угла опирающегося на хорду АС.
5. Угол АВС так же опирается на хорду АС, но направлен в противоположную от центрального сторону, а значит будет ровняться:
[math]\angle ABC=180-( \alpha + \beta )[/math]
6. Аналогичным образом рассматриваем второй треугольник. Получаем аналогичный результат. Можно одновременно описать обе окружности, но это чрезмерно перегружает чертеж и он становится менее понятным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 12:37 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
Следует заметить, что условие про равенство противоположных сторон является избыточным, так как в доказательстве не используется.

"Это звучит парадоксом"(с)
Вы доказали, что в произвольном четырехугольнике противоположные углы равны? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 13:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48,
да, конечно равны, если на крест лежащие углы при диагоналях и сторонах равны между собой, в следствии чего четырехугольник является параллелограммом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 14:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 5208
Cпасибо сказано: 341
Спасибо получено:
924 раз в 873 сообщениях
Очков репутации: 131

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А разве эти углы равны? Мне показалось, что ТС указала лишь на равенство сторон.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 14:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
А разве эти углы равны? Мне показалось, что ТС указала лишь на равенство сторон.

Я исходил из условия указанного на рисунке 53.
Сейчас посмотрим, как быть с одними сторонами... В данном случае, если не учитывать конгруэнтность треугольников, придется показывать равенство радиусов описанных окружностей....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 14:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дано:
AB=CD; BC=DA
Доказать, что ∠B=∠D.
1. Опишем окружности вокруг треугольников ABC ACD.
2. Радиусы обеих окружностей будут одинаковыми, так как уравнение радиуса описанной окружности имеет вид:
[math]R=\frac{ abc }{ \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }[/math], В нашем случае: [math]a=AC; b=AB=CD; c=BC=DA[/math]
3. Дальше все аналогично пред идущему решению, в окружностях одинакового радиуса, на хорды одной величины опираются одинаковые углы.


Если же, в данной случае, нельзя применять формулу для для радиуса описанной окружности, то решения пока не придумал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать равенство углов треугольников

в форуме Геометрия

sfanter

1

302

09 июл 2014, 18:38

Доказать равенство с помощью определенного интеграла

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Andruha11

1

458

03 апр 2014, 14:08

Докажите равенство углов

в форуме Геометрия

constart1966

14

647

02 ноя 2017, 17:03

Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

SergeyYsm

1

557

22 сен 2015, 14:35

Доказать равенство

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Sykes

1

300

09 сен 2021, 16:09

Доказать равенство

в форуме Алгебра

megoncharov

2

519

11 сен 2015, 20:47

Доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

RussianFalth

2

540

18 май 2014, 15:46

Доказать равенство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Liza_P

3

263

01 май 2022, 09:15

Доказать равенство

в форуме Алгебра

nikitalyutenko

9

556

05 янв 2018, 20:22

Доказать равенство

в форуме Ряды

sweet_cheeks

0

185

06 мар 2022, 17:42


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ges и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved