Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 10:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 дек 2017, 10:13
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день!

Учитель математики задал доказать равенство углов не обычным способом (это несложно), а с помощью построения окружностей (что мы с ребёнком-школьником уже не можем сделать):

На рис. 53 сторона BC=стороне AD, AB=CD, Докажите, что угол B равен углу D методом построения окружностейИзображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 13:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только 1.
2. Доказываете что треугольники ABC и ACD конгруэнтны (равны между собой) => что описанные окружности для обоих из них имеют одинаковый радиус.
3. Строите эти окружности.
4. Так как АС будет общей хордой для обеих и радиус окружностей одинаков, то все вписанные углы, опирающиеся на эту хорду, направленные в одну сторону будут равны между собой.

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/cangle.htm
Тут доступным образом изложена теория.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 15:49 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4007
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
857 раз в 779 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race, это конечно здорово.
Но разве равенство углов не следует сразу после п.2?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 16:00 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Race, это конечно здорово.
Но разве равенство углов не следует сразу после п.2?

Согласен, слабый момент.
Вместо него, можно рассмотреть равенство пар хорд ВС с AD, и AB с DC и опирающихся на них центральных углов, сумма центральных углов для каждойпары хорд будет одинакова, по условию и будет ровняться центральному углу на который опирается хорда АС. Из чего, в свою очередь следует, что углы ABC и CDA равны между собой, как вписанные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 10:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Swan,
спасибо Вам. Первое доказательство не выдерживает никакой критики.
Сегодня появилось время, все начертил, все доказал.

Следует заметить, что условие про равенство противоположных сторон является избыточным, так как в доказательстве не используется.

Изображение
1. Рассмотрим треугольник АВС (что бы не загромождать чертеж и все было понятно).
2. Опишем окружность вокруг треугольника АВС. На хордах АВ и ВС построим центральные углы.
3. Так как центральный угол равен удвоенному значению вписанного угла (направленного в одну с центральным сторону, относительно хорды), то сумма двух центральных углов будет ровняться удвоенному значению суммы углов А и С треугольника АВС.
4. В то же самое время центральный угол АОС опирается на хорду АС, из чего следует, что угол АЕС равен половине значение центрального угла опирающегося на хорду АС.
5. Угол АВС так же опирается на хорду АС, но направлен в противоположную от центрального сторону, а значит будет ровняться:
[math]\angle ABC=180-( \alpha + \beta )[/math]
6. Аналогичным образом рассматриваем второй треугольник. Получаем аналогичный результат. Можно одновременно описать обе окружности, но это чрезмерно перегружает чертеж и он становится менее понятным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 12:37 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 1352
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
245 раз в 224 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
Следует заметить, что условие про равенство противоположных сторон является избыточным, так как в доказательстве не используется.

"Это звучит парадоксом"(с)
Вы доказали, что в произвольном четырехугольнике противоположные углы равны? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 13:10 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48,
да, конечно равны, если на крест лежащие углы при диагоналях и сторонах равны между собой, в следствии чего четырехугольник является параллелограммом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 14:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
02 дек 2016, 22:55
Сообщений: 1352
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
245 раз в 224 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А разве эти углы равны? Мне показалось, что ТС указала лишь на равенство сторон.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 14:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Booker48 писал(а):
А разве эти углы равны? Мне показалось, что ТС указала лишь на равенство сторон.

Я исходил из условия указанного на рисунке 53.
Сейчас посмотрим, как быть с одними сторонами... В данном случае, если не учитывать конгруэнтность треугольников, придется показывать равенство радиусов описанных окружностей....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать равенство углов с помощью окружностей
СообщениеДобавлено: 13 дек 2017, 14:39 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дано:
AB=CD; BC=DA
Доказать, что ∠B=∠D.
1. Опишем окружности вокруг треугольников ABC ACD.
2. Радиусы обеих окружностей будут одинаковыми, так как уравнение радиуса описанной окружности имеет вид:
[math]R=\frac{ abc }{ \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }[/math], В нашем случае: [math]a=AC; b=AB=CD; c=BC=DA[/math]
3. Дальше все аналогично пред идущему решению, в окружностях одинакового радиуса, на хорды одной величины опираются одинаковые углы.


Если же, в данной случае, нельзя применять формулу для для радиуса описанной окружности, то решения пока не придумал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать равенство углов

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

fastdeath

1

636

09 ноя 2010, 19:46

Доказать равенство углов

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

llorin

6

2032

12 мар 2010, 11:49

Доказать равенство углов треугольников

в форуме Геометрия

sfanter

1

141

09 июл 2014, 18:38

Доказать равенство углов в четырёхугольнике

в форуме Геометрия

tato1982

5

408

21 мар 2013, 10:57

Доказать равенство углов в треугольниках (8 класс)

в форуме Геометрия

illya K

1

307

21 авг 2013, 17:33

Доказать равенство с помощью определенного интеграла

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Andruha11

1

237

03 апр 2014, 14:08

Докажите равенство углов

в форуме Геометрия

constart1966

14

336

02 ноя 2017, 17:03

Доказать равенство множеств и равенство декартовых пр-ий

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

SergeyYsm

1

251

22 сен 2015, 14:35

Доказать параллельность хорд двух окружностей

в форуме Геометрия

foxsis

7

1019

26 май 2011, 17:01

Доказать равенство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

RussianFalth

2

288

18 май 2014, 15:46


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved