Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 00:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 дек 2017, 17:27
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В кубе ABCDA' B' C' D' с ребром 1 найдите угол между прямой A'M и плоскостью ABC' D', где М - середина ВС.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 09:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При решении данной задачи я исхожу из того, что вы умеете строить проекции прямых на плоскость.

1. Строим наш куб, определяем положение точки M, строим прямую A'M.
2. Строим следы плоскости ABC' (D' - не указываю, так как для того, что бы задать плоскость, достаточно 3 точки) на гранях и ребрах куба. Очевидно что в нашем случае это будут: AB, C'D', AD', BC'.
3. Проектируем точку А' на плоскость ABC', очевидно что ее проекцией будет точка A", середина отрезка AD'.
4. Проектируем точку М на плоскость ABC', для этого опускаем перпендикуляр из М на ВС'. Пусть проекция M будет точка M'.
5. Строим отрезок M'A". Данный отрезок принадлежит плоскости ABC', а так же плоскости A'BM' - которая в свою очередь ортогональна ABC', а это значит, что угол между M'A" и A'M, будет углом между прямой A'M и прямой M'A".
6. Рассмотрим трапецию A'A"MM', в ней M'A" и A'M будут диагоналями. Высота данной трапеции нам известна по построению (ровняется ребру куба). Основания A'A" и MM' (A'A" - будет ровняться половине диагонали грани, а MM' , соответственно, её четвертине).
7. Вычисляете площадь трапеции через основания и высоту.
8. Теперь остается вычислить величины диагоналей трапеции A'A"MM' и заровнять полученную площадь к площади через произведение диагоналей и синуса угла между ними....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 10:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все гораздо проще. Этот угол равен [math]45^{\circ}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 13:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Все гораздо проще. Этот угол равен [math]45^{\circ}[/math]

надеюсь преподаватель автора примет подобный ответ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 13:08 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 3546
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
624 раз в 591 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поместим начало координат в точку В. Тогда плоскость ABC'D' будет z=x или -x+z=0. Вектор нормальный этой плоскости будет: [math]\vec{n_{s} }(-1,0,1)[/math] Направляющий вектор прямой A'M найдем по двум точкам [math]A^{'}(0,1,1);M(\frac{ 1 }{ 2 },0,0 )[/math] Направляющий вектор прямой будет: [math]\vec{n_{l} }(\frac{ 1 }{ 2 },-1 ,-1 )[/math] Далее используем известную формулу для синуса угла между прямой и плоскостью:
[math]\sin{ \gamma }=\frac{\left|( \vec{n_{s} },\vec{n_{l} } ) \right| }{ \left| \vec{n_{s} } \right| \left| \vec{n_{l} } \right| }=\frac{ \sqrt{2} }{ 2 }[/math]

Извиняюсь, попутал в арифметике.


Последний раз редактировалось slava_psk 12 дек 2017, 13:42, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали:
kvadratisharic, Race
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 13:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 08:15
Сообщений: 3565
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
502 раз в 465 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извиняюсь, что не дал пояснения к решению задачи. Возникли другие проблемы.
Так вот решение.
1) Находим длину прямой [math]A'M=\frac 3 2 a[/math]
2) Перемещаем заданную плоскость на ребро [math]A'B'[/math]
3) Опускаем [math]\perp MS[/math] на эту плоскость из точки [math]M[/math].
[math]MS=\frac 3 4 \sqrt 2 a[/math]
4)[math]\sin x=\frac{MS}{A'M}=\frac{\sqrt 2}2[/math]


Последний раз редактировалось vorvalm 12 дек 2017, 13:21, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали:
kvadratisharic
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 13:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Придется самому посчитать) А то от двух уважаемых авторов разные ответы.

На коленке сбил, получилось что [math]sin \alpha =\frac{ 2 }{ 3 }[/math]
После обеда перерешаю.

Площадь трапеции равна:
[math]S=\frac{ \frac{ a }{ 2 }+\frac{ a }{ 4 } }{ 2 } \cdot 1[/math], где [math]a=\sqrt{2} \Rightarrow S=\frac{ 3\sqrt{2} }{ 8 }[/math]
Одну диагональ посчитали вы, это [math]A'M=\sqrt{\frac{ 5 }{ 4 }+1 }=\frac{ 3 }{ 2 }[/math]
Вторую диагональ мы получим продолжив A"M' до пересечения с АВ, в точке M"', то что ВМ"' равно 1, определяем из пропорции.
[math]A"M'=\sqrt{\frac{ 2 }{ 16 } +1}=\frac{ 3\sqrt{2} }{ 4 }[/math]
[math]\frac{ 3\sqrt{2} }{ 8 }=\frac{ 1 }{ 2 }\frac{ 3\sqrt{2} }{ 4 }\frac{ 3 }{ 2 }sin \alpha \Rightarrow sin \alpha=\frac{ 2 }{ 3 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 14:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Осталось мне у себя ошибку найти)))

Печально, в арифметике ошибки нету, значит ошибка в подходе...


Последний раз редактировалось Race 12 дек 2017, 14:27, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 14:23 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 3546
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
624 раз в 591 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
Осталось мне у себя ошибку найти)))

Я исправил (см. мое сообщение), у меня pi/4.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 14:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Race писал(а):
Осталось мне у себя ошибку найти)))

Я исправил (см. мое сообщение), у меня pi/4.

Я после Вашего исправления и начал искать ошибку у себя. Видимо, допустил ошибку в рассуждениях, так как в арифметике, вроде бы, все верно. Но следует признать, что я действительно усложнил, vorvalm применил классический подход, а я пошел обходным путем.


Ура. Нашел ошибку. Обычная не внимательность. Принял высоту трапеции за 1, а она ею не является. Приношу всем извинения.

А может мы ищем разные углы? Все без рисунков выложили решение... Вроде построил плоскость ортогональную АВC'D', которой принадлежит и A'M и M'A", угол получился примерно 34 градуса.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Угол между прямой и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

kicultanya

1

387

02 янв 2017, 16:58

Угол между прямой и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Gorodok

2

505

17 янв 2019, 16:24

Найти угол между прямой и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Nooo

4

299

21 дек 2014, 22:20

Найти угол между прямой и плоскостью

в форуме Геометрия

KaterinaZX

2

573

21 дек 2016, 14:57

Найдите угол между прямой и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Egor222

3

219

22 дек 2022, 19:19

Угол между осью и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

fedorova-nusa

6

1357

20 дек 2014, 22:06

Угол между вектором и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Poisk2019

85

778

21 дек 2019, 08:09

Найдите синус(острого) угла между прямой и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

George123321

1

109

12 дек 2022, 19:27

Угол между прямой и стороной треугольника

в форуме Геометрия

gfibr

11

473

11 мар 2019, 18:16

Найти расстояние между точкой и плоскостью

в форуме Геометрия

Oarf

5

502

18 ноя 2014, 20:24


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved