Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 01:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
02 дек 2017, 18:27
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В кубе ABCDA' B' C' D' с ребром 1 найдите угол между прямой A'M и плоскостью ABC' D', где М - середина ВС.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 10:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При решении данной задачи я исхожу из того, что вы умеете строить проекции прямых на плоскость.

1. Строим наш куб, определяем положение точки M, строим прямую A'M.
2. Строим следы плоскости ABC' (D' - не указываю, так как для того, что бы задать плоскость, достаточно 3 точки) на гранях и ребрах куба. Очевидно что в нашем случае это будут: AB, C'D', AD', BC'.
3. Проектируем точку А' на плоскость ABC', очевидно что ее проекцией будет точка A", середина отрезка AD'.
4. Проектируем точку М на плоскость ABC', для этого опускаем перпендикуляр из М на ВС'. Пусть проекция M будет точка M'.
5. Строим отрезок M'A". Данный отрезок принадлежит плоскости ABC', а так же плоскости A'BM' - которая в свою очередь ортогональна ABC', а это значит, что угол между M'A" и A'M, будет углом между прямой A'M и прямой M'A".
6. Рассмотрим трапецию A'A"MM', в ней M'A" и A'M будут диагоналями. Высота данной трапеции нам известна по построению (ровняется ребру куба). Основания A'A" и MM' (A'A" - будет ровняться половине диагонали грани, а MM' , соответственно, её четвертине).
7. Вычисляете площадь трапеции через основания и высоту.
8. Теперь остается вычислить величины диагоналей трапеции A'A"MM' и заровнять полученную площадь к площади через произведение диагоналей и синуса угла между ними....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 11:59 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 3075
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
447 раз в 414 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все гораздо проще. Этот угол равен [math]45^{\circ}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 14:00 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Все гораздо проще. Этот угол равен [math]45^{\circ}[/math]

надеюсь преподаватель автора примет подобный ответ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 14:08 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 862
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
172 раз в 168 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поместим начало координат в точку В. Тогда плоскость ABC'D' будет z=x или -x+z=0. Вектор нормальный этой плоскости будет: [math]\vec{n_{s} }(-1,0,1)[/math] Направляющий вектор прямой A'M найдем по двум точкам [math]A^{'}(0,1,1);M(\frac{ 1 }{ 2 },0,0 )[/math] Направляющий вектор прямой будет: [math]\vec{n_{l} }(\frac{ 1 }{ 2 },-1 ,-1 )[/math] Далее используем известную формулу для синуса угла между прямой и плоскостью:
[math]\sin{ \gamma }=\frac{\left|( \vec{n_{s} },\vec{n_{l} } ) \right| }{ \left| \vec{n_{s} } \right| \left| \vec{n_{l} } \right| }=\frac{ \sqrt{2} }{ 2 }[/math]

Извиняюсь, попутал в арифметике.


Последний раз редактировалось slava_psk 12 дек 2017, 14:42, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали:
kvadratisharic, Race
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 14:16 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 3075
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
447 раз в 414 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извиняюсь, что не дал пояснения к решению задачи. Возникли другие проблемы.
Так вот решение.
1) Находим длину прямой [math]A'M=\frac 3 2 a[/math]
2) Перемещаем заданную плоскость на ребро [math]A'B'[/math]
3) Опускаем [math]\perp MS[/math] на эту плоскость из точки [math]M[/math].
[math]MS=\frac 3 4 \sqrt 2 a[/math]
4)[math]\sin x=\frac{MS}{A'M}=\frac{\sqrt 2}2[/math]


Последний раз редактировалось vorvalm 12 дек 2017, 14:21, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vorvalm "Спасибо" сказали:
kvadratisharic
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 14:17 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Придется самому посчитать) А то от двух уважаемых авторов разные ответы.

На коленке сбил, получилось что [math]sin \alpha =\frac{ 2 }{ 3 }[/math]
После обеда перерешаю.

Площадь трапеции равна:
[math]S=\frac{ \frac{ a }{ 2 }+\frac{ a }{ 4 } }{ 2 } \cdot 1[/math], где [math]a=\sqrt{2} \Rightarrow S=\frac{ 3\sqrt{2} }{ 8 }[/math]
Одну диагональ посчитали вы, это [math]A'M=\sqrt{\frac{ 5 }{ 4 }+1 }=\frac{ 3 }{ 2 }[/math]
Вторую диагональ мы получим продолжив A"M' до пересечения с АВ, в точке M"', то что ВМ"' равно 1, определяем из пропорции.
[math]A"M'=\sqrt{\frac{ 2 }{ 16 } +1}=\frac{ 3\sqrt{2} }{ 4 }[/math]
[math]\frac{ 3\sqrt{2} }{ 8 }=\frac{ 1 }{ 2 }\frac{ 3\sqrt{2} }{ 4 }\frac{ 3 }{ 2 }sin \alpha \Rightarrow sin \alpha=\frac{ 2 }{ 3 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 15:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Осталось мне у себя ошибку найти)))

Печально, в арифметике ошибки нету, значит ошибка в подходе...


Последний раз редактировалось Race 12 дек 2017, 15:27, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 15:23 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 862
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
172 раз в 168 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
Осталось мне у себя ошибку найти)))

Я исправил (см. мое сообщение), у меня pi/4.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Угол между прямой и плоскостью
СообщениеДобавлено: 12 дек 2017, 15:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Race писал(а):
Осталось мне у себя ошибку найти)))

Я исправил (см. мое сообщение), у меня pi/4.

Я после Вашего исправления и начал искать ошибку у себя. Видимо, допустил ошибку в рассуждениях, так как в арифметике, вроде бы, все верно. Но следует признать, что я действительно усложнил, vorvalm применил классический подход, а я пошел обходным путем.


Ура. Нашел ошибку. Обычная не внимательность. Принял высоту трапеции за 1, а она ею не является. Приношу всем извинения.

А может мы ищем разные углы? Все без рисунков выложили решение... Вроде построил плоскость ортогональную АВC'D', которой принадлежит и A'M и M'A", угол получился примерно 34 градуса.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Угол между прямой и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

salina

7

276

12 ноя 2012, 13:02

Угол между прямой и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

kicultanya

1

172

02 янв 2017, 17:58

Угол между прямой и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

korchagina

3

284

22 ноя 2012, 00:27

Найти угол между прямой и плоскостью

в форуме Геометрия

DenG

9

849

13 дек 2012, 12:07

Найти угол между прямой и плоскостью

в форуме Геометрия

KaterinaZX

2

125

21 дек 2016, 15:57

Найти угол между прямой и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Nooo

4

178

21 дек 2014, 23:20

Найти угол между прямой и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

tesom

3

263

14 дек 2012, 19:29

Угол между плоскостью и OX

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

kaspero4ek1

1

249

27 окт 2013, 16:40

Угол между осью и плоскостью

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

fedorova-nusa

6

465

20 дек 2014, 23:06

Найти угол между образующей конуса и плоскостью основания

в форуме Геометрия

olga_budilova

7

799

14 окт 2012, 17:14


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved