Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача по геометрии. 14 решений
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=56597
Страница 1 из 2

Автор:  galapagos [ 12 ноя 2017, 10:13 ]
Заголовок сообщения:  Задача по геометрии. 14 решений

Здравствуйте, знатоки!
Сыну в школе задали задание : найти как можно больше решений задачи, которая имеет, как сказал учитель, 14 решений.
Вот ломаем голову. Возможно, если у вас найдется немного времени.... вы нам поможете:) :oops:
Условия задачи:
ABCD - трапеция
AC=6
BD=8
AC перпендикулярно BD
Найти:
Средняя линия трапеции - ?

Чертежик я прикрепил(вроде) :unknown: Изображение
Для меня,как для человека не имеющего к математике никакого отношения - это очень сложно. Надеюсь, найдутся люди, которые меня поймут.
Спасибо за внимание!
Решений 5 - уже хорошо. Буду очень благодарен! :angel:

Автор:  Race [ 12 ноя 2017, 10:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по геометрии. 14 решений

1 способ.
"немного фантазии"
[math]AC^{2}+BD^{2}=x^{2} \Rightarrow x=10[/math]
[math]c=\frac{ x }{ 2 }=5[/math]
Пояснение:
1. Таких трапеций может быть бесконечное множество.
2. Рассмотрим случай когда трапеция вырождается в прямоугольный треугольник, то есть точка С совпадает с точкой В.
3. Найдем величину гипотенузы данного треугольника.
4. Средняя линия данного треугольника будет ровняться средней линии трапеции.

galapagos,
подскажите, в каком классе ребенок)

Автор:  Race [ 12 ноя 2017, 11:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по геометрии. 14 решений

2 способ.
"тупо в лоб"
1. В треугольниках AOD и BOC стороны AO/OD=6/8=OC/OB
это понятно логически, но можно получить и строго математически:
[math]\frac{ a }{ b }=k=\frac{ OD }{ BO }=\frac{ AO }{ OC }[/math] но [math]AO+OC=6; DO+OB=8 \Rightarrow k=\frac{ 6-AO }{ AO }=\frac{ 8-DO }{ DO } \Rightarrow AO=\frac{ 6 }{ 8 }DO[/math]
2. Обзовем OC=x а ОВ=y и запишем уравнение для оснований, через теорему Пифагора:
[math]x^{2}+y^{2}=b^{2}[/math] (1)
[math](6-x)^{2}=(8-y)^{2}=a^{2}[/math] (2)
но [math]x=\frac{ 6 }{ 8 }y[/math] (3)
Рассмотрим (2), возведем в квадрат и раскроем скобки:
[math]100-12x+x^{2}-16y+y^{2}=a^{2}[/math] (4)
подставим (3) в (4), не буду записывать все вычисления сразу результат:
[math]1600-400y+25y^{2}=(40-5y)^{2}=(4a)^{2} \Rightarrow a=\frac{ 40-5y }{ 4 }[/math] (5)
Подставим (3) в (1), точно так же, запишу сразу результат:
[math]b=\frac{ 5 }{4 }y[/math] (6)
Подставим значение оснований трапеции в уравнение средней линии:
[math]c=\frac{ a+b }{ 2 }=\frac{ \frac{ 40-5y }{ 4 }+\frac{ 5 }{4 }y }{ 2 }=5[/math]

Автор:  Avgust [ 12 ноя 2017, 12:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по геометрии. 14 решений

Если диагонали перпендикулярны, то средняя линия

[math]m=\frac {d_1 \cdot d_2}{2h}=\frac{24}{h}[/math]

где [math]h[/math] - высота трапеции.

Я понял, надо найти целочисленные решения. Очевидно, решений только 8:

h m
1 24
2 12
3 8
4 6
6 4
8 3
12 2
24 1

Не учел только ограничения, которые накладываются на треугольники.

Автор:  Race [ 12 ноя 2017, 12:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по геометрии. 14 решений

3 способ.
"площадь четырехугольника"
1. [math]S_{ABCD}=\frac{ 1 }{ 2 } AC \cdot BD \cdot sin90=24[/math]
2. [math]S_{ABCD}=c*h[/math]
Для определения высоты трапеции, я вернулся к способу номер 1, не знаю зачитают ли за обособленное решение но ход рассуждений таков:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник в котором диагонали будут выступать катетами.
- Опустим высоту из прямого угла.
- Два получившихся маленьких прямоугольных будут подобны большому.
- Составим пропорцию для одного маленького и большого, получим:
[math]\frac{ h }{AC }=\frac{ BD }{ AD } \Rightarrow h=\frac{ AC \cdot BD }{ AD }=4,8[/math]
[math]c=\frac{ S }{ h }=5[/math]

Автор:  Race [ 12 ноя 2017, 12:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по геометрии. 14 решений

Avgust писал(а):
Если диагонали перпендикулярны, то средняя линия

[math]m=\frac {d_1 \cdot d_2}{2h}=\frac{24}{h}[/math]

где [math]h[/math] - высота трапеции.

Я понял, надо найти целочисленные решения. Очевидно, решений только 8:

h m
1 24
2 12
3 8
4 6
6 8
8 3
12 24
24 12

Плохая из Вас Ванга)

Автор:  Avgust [ 12 ноя 2017, 12:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по геометрии. 14 решений

Да, мое "решение" нужно помещать в раздел "Юмор". :D1

Автор:  michel [ 12 ноя 2017, 13:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по геометрии. 14 решений

[math]AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{AC^2+BD^2}=10=AD+DE=AD+BC \Rightarrow \frac{ AD+BC }{ 2 }=5[/math] ([math]BCED[/math] - параллелограмм)
Изображение

Автор:  Race [ 12 ноя 2017, 13:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по геометрии. 14 решений

michel писал(а):
[math]AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{AC^2+BD^2}=10=AD+DE=AD+BC \Rightarrow \frac{ AD+BC }{ 2 }=5[/math]
Изображение

Я всего 2 нашел... Это одно из них) Интересно где еже взять еще 12.

Автор:  galapagos [ 12 ноя 2017, 18:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по геометрии. 14 решений

Race писал(а):
1 способ.
"немного фантазии"
[math]AC^{2}+BD^{2}=x^{2} \Rightarrow x=10[/math]
[math]c=\frac{ x }{ 2 }=5[/math]
Пояснение:
1. Таких трапеций может быть бесконечное множество.
2. Рассмотрим случай когда трапеция вырождается в прямоугольный треугольник, то есть точка С совпадает с точкой В.
3. Найдем величину гипотенузы данного треугольника.
4. Средняя линия данного треугольника будет ровняться средней линии трапеции.

galapagos,
подскажите, в каком классе ребенок)

Ребенок в 9 классе. Всем спасибо!

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/