Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Задача по геометрии. 14 решений http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=56597 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | Race [ 12 ноя 2017, 10:36 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задача по геометрии. 14 решений |
1 способ. "немного фантазии" [math]AC^{2}+BD^{2}=x^{2} \Rightarrow x=10[/math] [math]c=\frac{ x }{ 2 }=5[/math] Пояснение: 1. Таких трапеций может быть бесконечное множество. 2. Рассмотрим случай когда трапеция вырождается в прямоугольный треугольник, то есть точка С совпадает с точкой В. 3. Найдем величину гипотенузы данного треугольника. 4. Средняя линия данного треугольника будет ровняться средней линии трапеции. galapagos, подскажите, в каком классе ребенок) |
Автор: | Race [ 12 ноя 2017, 11:22 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задача по геометрии. 14 решений |
2 способ. "тупо в лоб" 1. В треугольниках AOD и BOC стороны AO/OD=6/8=OC/OB это понятно логически, но можно получить и строго математически: [math]\frac{ a }{ b }=k=\frac{ OD }{ BO }=\frac{ AO }{ OC }[/math] но [math]AO+OC=6; DO+OB=8 \Rightarrow k=\frac{ 6-AO }{ AO }=\frac{ 8-DO }{ DO } \Rightarrow AO=\frac{ 6 }{ 8 }DO[/math] 2. Обзовем OC=x а ОВ=y и запишем уравнение для оснований, через теорему Пифагора: [math]x^{2}+y^{2}=b^{2}[/math] (1) [math](6-x)^{2}=(8-y)^{2}=a^{2}[/math] (2) но [math]x=\frac{ 6 }{ 8 }y[/math] (3) Рассмотрим (2), возведем в квадрат и раскроем скобки: [math]100-12x+x^{2}-16y+y^{2}=a^{2}[/math] (4) подставим (3) в (4), не буду записывать все вычисления сразу результат: [math]1600-400y+25y^{2}=(40-5y)^{2}=(4a)^{2} \Rightarrow a=\frac{ 40-5y }{ 4 }[/math] (5) Подставим (3) в (1), точно так же, запишу сразу результат: [math]b=\frac{ 5 }{4 }y[/math] (6) Подставим значение оснований трапеции в уравнение средней линии: [math]c=\frac{ a+b }{ 2 }=\frac{ \frac{ 40-5y }{ 4 }+\frac{ 5 }{4 }y }{ 2 }=5[/math] |
Автор: | Avgust [ 12 ноя 2017, 12:13 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задача по геометрии. 14 решений |
Если диагонали перпендикулярны, то средняя линия [math]m=\frac {d_1 \cdot d_2}{2h}=\frac{24}{h}[/math] где [math]h[/math] - высота трапеции. Я понял, надо найти целочисленные решения. Очевидно, решений только 8: h m 1 24 2 12 3 8 4 6 6 4 8 3 12 2 24 1 Не учел только ограничения, которые накладываются на треугольники. |
Автор: | Race [ 12 ноя 2017, 12:15 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задача по геометрии. 14 решений |
3 способ. "площадь четырехугольника" 1. [math]S_{ABCD}=\frac{ 1 }{ 2 } AC \cdot BD \cdot sin90=24[/math] 2. [math]S_{ABCD}=c*h[/math] Для определения высоты трапеции, я вернулся к способу номер 1, не знаю зачитают ли за обособленное решение но ход рассуждений таков: - Рассмотрим прямоугольный треугольник в котором диагонали будут выступать катетами. - Опустим высоту из прямого угла. - Два получившихся маленьких прямоугольных будут подобны большому. - Составим пропорцию для одного маленького и большого, получим: [math]\frac{ h }{AC }=\frac{ BD }{ AD } \Rightarrow h=\frac{ AC \cdot BD }{ AD }=4,8[/math] [math]c=\frac{ S }{ h }=5[/math] |
Автор: | Race [ 12 ноя 2017, 12:20 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задача по геометрии. 14 решений |
Avgust писал(а): Если диагонали перпендикулярны, то средняя линия [math]m=\frac {d_1 \cdot d_2}{2h}=\frac{24}{h}[/math] где [math]h[/math] - высота трапеции. Я понял, надо найти целочисленные решения. Очевидно, решений только 8: h m 1 24 2 12 3 8 4 6 6 8 8 3 12 24 24 12 Плохая из Вас Ванга) |
Автор: | Avgust [ 12 ноя 2017, 12:39 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задача по геометрии. 14 решений |
Да, мое "решение" нужно помещать в раздел "Юмор". |
Автор: | Race [ 12 ноя 2017, 13:07 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задача по геометрии. 14 решений |
michel писал(а): Я всего 2 нашел... Это одно из них) Интересно где еже взять еще 12. |
Автор: | galapagos [ 12 ноя 2017, 18:09 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Задача по геометрии. 14 решений |
Race писал(а): 1 способ. "немного фантазии" [math]AC^{2}+BD^{2}=x^{2} \Rightarrow x=10[/math] [math]c=\frac{ x }{ 2 }=5[/math] Пояснение: 1. Таких трапеций может быть бесконечное множество. 2. Рассмотрим случай когда трапеция вырождается в прямоугольный треугольник, то есть точка С совпадает с точкой В. 3. Найдем величину гипотенузы данного треугольника. 4. Средняя линия данного треугольника будет ровняться средней линии трапеции. galapagos, подскажите, в каком классе ребенок) Ребенок в 9 классе. Всем спасибо! |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |