Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача по геометрии. 14 решений
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2017, 11:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 ноя 2017, 10:48
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, знатоки!
Сыну в школе задали задание : найти как можно больше решений задачи, которая имеет, как сказал учитель, 14 решений.
Вот ломаем голову. Возможно, если у вас найдется немного времени.... вы нам поможете:) :oops:
Условия задачи:
ABCD - трапеция
AC=6
BD=8
AC перпендикулярно BD
Найти:
Средняя линия трапеции - ?

Чертежик я прикрепил(вроде) :unknown: Изображение
Для меня,как для человека не имеющего к математике никакого отношения - это очень сложно. Надеюсь, найдутся люди, которые меня поймут.
Спасибо за внимание!
Решений 5 - уже хорошо. Буду очень благодарен! :angel:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по геометрии. 14 решений
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2017, 11:36 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1 способ.
"немного фантазии"
[math]AC^{2}+BD^{2}=x^{2} \Rightarrow x=10[/math]
[math]c=\frac{ x }{ 2 }=5[/math]
Пояснение:
1. Таких трапеций может быть бесконечное множество.
2. Рассмотрим случай когда трапеция вырождается в прямоугольный треугольник, то есть точка С совпадает с точкой В.
3. Найдем величину гипотенузы данного треугольника.
4. Средняя линия данного треугольника будет ровняться средней линии трапеции.

galapagos,
подскажите, в каком классе ребенок)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
galapagos
 Заголовок сообщения: Re: Задача по геометрии. 14 решений
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2017, 12:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2 способ.
"тупо в лоб"
1. В треугольниках AOD и BOC стороны AO/OD=6/8=OC/OB
это понятно логически, но можно получить и строго математически:
[math]\frac{ a }{ b }=k=\frac{ OD }{ BO }=\frac{ AO }{ OC }[/math] но [math]AO+OC=6; DO+OB=8 \Rightarrow k=\frac{ 6-AO }{ AO }=\frac{ 8-DO }{ DO } \Rightarrow AO=\frac{ 6 }{ 8 }DO[/math]
2. Обзовем OC=x а ОВ=y и запишем уравнение для оснований, через теорему Пифагора:
[math]x^{2}+y^{2}=b^{2}[/math] (1)
[math](6-x)^{2}=(8-y)^{2}=a^{2}[/math] (2)
но [math]x=\frac{ 6 }{ 8 }y[/math] (3)
Рассмотрим (2), возведем в квадрат и раскроем скобки:
[math]100-12x+x^{2}-16y+y^{2}=a^{2}[/math] (4)
подставим (3) в (4), не буду записывать все вычисления сразу результат:
[math]1600-400y+25y^{2}=(40-5y)^{2}=(4a)^{2} \Rightarrow a=\frac{ 40-5y }{ 4 }[/math] (5)
Подставим (3) в (1), точно так же, запишу сразу результат:
[math]b=\frac{ 5 }{4 }y[/math] (6)
Подставим значение оснований трапеции в уравнение средней линии:
[math]c=\frac{ a+b }{ 2 }=\frac{ \frac{ 40-5y }{ 4 }+\frac{ 5 }{4 }y }{ 2 }=5[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по геометрии. 14 решений
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2017, 13:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если диагонали перпендикулярны, то средняя линия

[math]m=\frac {d_1 \cdot d_2}{2h}=\frac{24}{h}[/math]

где [math]h[/math] - высота трапеции.

Я понял, надо найти целочисленные решения. Очевидно, решений только 8:

h m
1 24
2 12
3 8
4 6
6 4
8 3
12 2
24 1

Не учел только ограничения, которые накладываются на треугольники.


Последний раз редактировалось Avgust 12 ноя 2017, 13:30, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по геометрии. 14 решений
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2017, 13:15 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3 способ.
"площадь четырехугольника"
1. [math]S_{ABCD}=\frac{ 1 }{ 2 } AC \cdot BD \cdot sin90=24[/math]
2. [math]S_{ABCD}=c*h[/math]
Для определения высоты трапеции, я вернулся к способу номер 1, не знаю зачитают ли за обособленное решение но ход рассуждений таков:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник в котором диагонали будут выступать катетами.
- Опустим высоту из прямого угла.
- Два получившихся маленьких прямоугольных будут подобны большому.
- Составим пропорцию для одного маленького и большого, получим:
[math]\frac{ h }{AC }=\frac{ BD }{ AD } \Rightarrow h=\frac{ AC \cdot BD }{ AD }=4,8[/math]
[math]c=\frac{ S }{ h }=5[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по геометрии. 14 решений
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2017, 13:20 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Если диагонали перпендикулярны, то средняя линия

[math]m=\frac {d_1 \cdot d_2}{2h}=\frac{24}{h}[/math]

где [math]h[/math] - высота трапеции.

Я понял, надо найти целочисленные решения. Очевидно, решений только 8:

h m
1 24
2 12
3 8
4 6
6 8
8 3
12 24
24 12

Плохая из Вас Ванга)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по геометрии. 14 решений
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2017, 13:39 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 11069
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 950
Спасибо получено:
3234 раз в 2824 сообщениях
Очков репутации: 629

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, мое "решение" нужно помещать в раздел "Юмор". :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Задача по геометрии. 14 решений
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2017, 14:05 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 2569
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
849 раз в 787 сообщениях
Очков репутации: 128

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{AC^2+BD^2}=10=AD+DE=AD+BC \Rightarrow \frac{ AD+BC }{ 2 }=5[/math] ([math]BCED[/math] - параллелограмм)
Изображение


Последний раз редактировалось michel 12 ноя 2017, 14:07, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по геометрии. 14 решений
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2017, 14:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1350
Cпасибо сказано: 260
Спасибо получено:
222 раз в 206 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
[math]AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{AC^2+BD^2}=10=AD+DE=AD+BC \Rightarrow \frac{ AD+BC }{ 2 }=5[/math]
Изображение

Я всего 2 нашел... Это одно из них) Интересно где еже взять еще 12.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по геометрии. 14 решений
СообщениеДобавлено: 12 ноя 2017, 19:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 ноя 2017, 10:48
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
1 способ.
"немного фантазии"
[math]AC^{2}+BD^{2}=x^{2} \Rightarrow x=10[/math]
[math]c=\frac{ x }{ 2 }=5[/math]
Пояснение:
1. Таких трапеций может быть бесконечное множество.
2. Рассмотрим случай когда трапеция вырождается в прямоугольный треугольник, то есть точка С совпадает с точкой В.
3. Найдем величину гипотенузы данного треугольника.
4. Средняя линия данного треугольника будет ровняться средней линии трапеции.

galapagos,
подскажите, в каком классе ребенок)

Ребенок в 9 классе. Всем спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задача по геометрии. 14 решений

в форуме Геометрия

galapagos

2

122

13 ноя 2017, 17:07

Задача по методам оптимальных решений

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Mirage

0

116

03 мар 2018, 15:37

Задача по теории принятия решений

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

serglost

0

379

06 апр 2014, 19:36

Задача Коши не имеет решений

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

JackNN

9

433

16 авг 2015, 14:27

Задача по теории принятия решений

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

havbek

1

291

30 окт 2014, 12:04

Задача по Теории Принятия Решений

в форуме Microsoft Excel

Daigore

0

1321

08 июн 2014, 15:59

Задача по методам оптимальных решений

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

Mirage

13

263

03 мар 2018, 15:32

Задача по Марковским процессам принятия решений

в форуме Теория вероятностей

Podo

0

110

25 ноя 2016, 02:00

Многокритериальная задача принятия решений в условиях риска

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

mymla

0

200

13 апр 2016, 11:50

Задача по геометрии

в форуме Геометрия

simba

3

216

24 ноя 2015, 21:11


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved