Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Планиметрия. Найти площадь трапеции http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=55828 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | Flutt1 [ 27 сен 2017, 21:00 ] |
Заголовок сообщения: | Планиметрия. Найти площадь трапеции |
Цитата: В прямoугoльнoм трeугoльникe [math]ABC[/math] кaтeты [math]AC=2[/math], [math]BC=3[/math]. Ha прямую, выхoдящyю чeрeз тoчку [math]C[/math], опущeны двa пeрпeндикулярa [math]AH[/math] и [math]BK[/math]. Извeстнo, что тoчка [math]H[/math] лeжит мeжду [math]C[/math] и [math]K[/math], причeм [math]CK=3CH[/math]. Нaйдите плoщадь тpaпеции [math]AHBK[/math]. Мой рисунок: Я смог выразить все стороны через [math]x[/math], но сам [math]x[/math] найти не получается. Везде получаются тождественные равенства. А если сможем найти [math]x[/math], то можно будет по формуле Брахмагупты найти искомую площадь. Еще я заметил [math]x[/math] и [math]2x[/math], что намекает на точку пересечения медиан [math]H[/math]. Но не знаю, как это можно доказать. Подскажите, что можно сделать? Моя попытка: |
Автор: | Race [ 27 сен 2017, 21:27 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции |
Пока ошибка в определении АК, тройку в квадрат не возвели. |
Автор: | Flutt1 [ 27 сен 2017, 21:35 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции |
Race писал(а): Пока ошибка в определении АК, тройку в квадрат не возвели. Так там же вроде и не нужно.. [math]AK^2 = AH^2+HK^2 = 4-x^2+4x^2 = 4+3x^2[/math] ? |
Автор: | Race [ 27 сен 2017, 21:40 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции |
Flutt1 писал(а): Race писал(а): Пока ошибка в определении АК, тройку в квадрат не возвели. Так там же вроде и не нужно.. [math]AK^2 = AH^2+HK^2 = 4-x^2+4x^2 = 4+3x^2[/math] ? Да, Вы правы. Будем думать. Без костылей как без рук.2 Бросается в глаза, что [math]S_{HKB}=2S_{CHB}[/math], так же соответственно [math]S_{AKH}=2S_{AHC}[/math]. [math]cosα=\frac{ 3x }{ 3 }=x[/math] получаем без теоремы косинусов, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник CKB. Нету времени норм посидеть, завтра на работе решу, так как задача решается геометрическим построением, то аналитически должна решиться в пределах уравнений не выше второй степени. Геометрически задачу решил, то бишь произвел построение) |
Автор: | Avgust [ 27 сен 2017, 22:34 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции |
Решал аналитически и получил [math]x=\frac{2}{\sqrt{5}}[/math] и [math]S=\frac{14}{5}[/math] Но построил графически - явно не то... А второй корень x=2 дает отрицательное значение BK |
Автор: | Race [ 27 сен 2017, 23:07 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции |
Жена заругала, пишу с телефона. Графическое построение: 1. Продолжаем АС за А. 2. Откладываем от С отрезок равный 6, получаем точку D. 3. Соединяем В с D. 4. На CD либо на СВ, как на диаметре, строим окружность, точка ее пересечения с DB будет наша точка К. 5. На АС, как на диаметре, строим окружность, точка ее пересечения с СК, точка Н. Собственно так же можно построить прямую которой принадлежит АН, от С в сторону В откладываем отрезок равный 1, получаем точку Е, соединяем А с Е, получили прямую которой принадлежит АН. Используя такое геометрическое построение задача решается в уме, так как СН=х, будет являться высотой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, опущенной на гипотенузу. 1=1*2/2=(х*sqrt5)/2 => х=2/sqrt5 Avgust, если не ошибся, вроде так) завтра на работе.в автокаде проверю, на телефоне никак. |
Автор: | Avgust [ 28 сен 2017, 01:16 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции |
Пожалуй, я не ошибся. Площадь трапеции действительно 2.8. Завтра распишу все формулы. |
Автор: | Race [ 28 сен 2017, 07:04 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции |
Если и у меня и у Вас, при разных подходах получился один ответ, то вероятность ошибки уменьшилась серьезно) Кстати, второй корень Вашего решения тоже имеет право на жизнь, просто при нем точка А будет находиться между Н и К, только и всего. Вместо трапеции будет четырехугольник состоящий из двух прямоугольных треугольников. |
Автор: | michel [ 28 сен 2017, 09:09 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции |
Решение через подобие + теорему Пифагора |
Автор: | Race [ 28 сен 2017, 10:58 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции |
Явно с вечера задачи вредно решать))) Все решилось на основании простого подобия треугольников с очевидным достроением. Я же к геометрическому построению пришел при помощи своей "двигательной" геометрии, это уже потом я понял что все элементарно строится через радикальный центр, но так как я редко использую данный раздел, в голове он плохо держится. В виду исчерпывающего решения michel, построение данной трапеции, скорее всего, будет интересно только Avgustу, так как отображает и его 2е решение. Кстати во втором случае, х получается более красивый 1.2 ровно) |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |