Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Планиметрия. Найти площадь трапеции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=55828
Страница 1 из 2

Автор:  Flutt1 [ 27 сен 2017, 22:00 ]
Заголовок сообщения:  Планиметрия. Найти площадь трапеции

Цитата:
В прямoугoльнoм трeугoльникe [math]ABC[/math] кaтeты [math]AC=2[/math], [math]BC=3[/math]. Ha прямую, выхoдящyю чeрeз тoчку [math]C[/math], опущeны двa пeрпeндикулярa [math]AH[/math] и [math]BK[/math]. Извeстнo, что тoчка [math]H[/math] лeжит мeжду [math]C[/math] и [math]K[/math], причeм [math]CK=3CH[/math]. Нaйдите плoщадь тpaпеции [math]AHBK[/math].

Мой рисунок:
Изображение
Я смог выразить все стороны через [math]x[/math], но сам [math]x[/math] найти не получается. Везде получаются тождественные равенства. А если сможем найти [math]x[/math], то можно будет по формуле Брахмагупты найти искомую площадь. Еще я заметил [math]x[/math] и [math]2x[/math], что намекает на точку пересечения медиан [math]H[/math]. Но не знаю, как это можно доказать. Подскажите, что можно сделать?
Моя попытка:
Изображение

Автор:  Race [ 27 сен 2017, 22:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции

Пока ошибка в определении АК, тройку в квадрат не возвели.

Автор:  Flutt1 [ 27 сен 2017, 22:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции

Race писал(а):
Пока ошибка в определении АК, тройку в квадрат не возвели.

Так там же вроде и не нужно.. [math]AK^2 = AH^2+HK^2 = 4-x^2+4x^2 = 4+3x^2[/math] ?

Автор:  Race [ 27 сен 2017, 22:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции

Flutt1 писал(а):
Race писал(а):
Пока ошибка в определении АК, тройку в квадрат не возвели.

Так там же вроде и не нужно.. [math]AK^2 = AH^2+HK^2 = 4-x^2+4x^2 = 4+3x^2[/math] ?

Да, Вы правы. Будем думать.

Без костылей как без рук.2
Бросается в глаза, что [math]S_{HKB}=2S_{CHB}[/math], так же соответственно [math]S_{AKH}=2S_{AHC}[/math].

[math]cosα=\frac{ 3x }{ 3 }=x[/math] получаем без теоремы косинусов, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник CKB.

Нету времени норм посидеть, завтра на работе решу, так как задача решается геометрическим построением, то аналитически должна решиться в пределах уравнений не выше второй степени.
Геометрически задачу решил, то бишь произвел построение)

Автор:  Avgust [ 27 сен 2017, 23:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции

Решал аналитически и получил [math]x=\frac{2}{\sqrt{5}}[/math] и [math]S=\frac{14}{5}[/math]
Но построил графически - явно не то...
А второй корень x=2 дает отрицательное значение BK

Автор:  Race [ 28 сен 2017, 00:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции

Жена заругала, пишу с телефона.
Графическое построение:
1. Продолжаем АС за А.
2. Откладываем от С отрезок равный 6, получаем точку D.
3. Соединяем В с D.
4. На CD либо на СВ, как на диаметре, строим окружность, точка ее пересечения с DB будет наша точка К.
5. На АС, как на диаметре, строим окружность, точка ее пересечения с СК, точка Н.

Собственно так же можно построить прямую которой принадлежит АН, от С в сторону В откладываем отрезок равный 1, получаем точку Е, соединяем А с Е, получили прямую которой принадлежит АН.

Используя такое геометрическое построение задача решается в уме, так как СН=х, будет являться высотой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, опущенной на гипотенузу. 1=1*2/2=(х*sqrt5)/2 => х=2/sqrt5

Avgust,
если не ошибся, вроде так) завтра на работе.в автокаде проверю, на телефоне никак.

Автор:  Avgust [ 28 сен 2017, 02:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции

Пожалуй, я не ошибся. Площадь трапеции действительно 2.8.
Завтра распишу все формулы.

Автор:  Race [ 28 сен 2017, 08:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции

Если и у меня и у Вас, при разных подходах получился один ответ, то вероятность ошибки уменьшилась серьезно)
Кстати, второй корень Вашего решения тоже имеет право на жизнь, просто при нем точка А будет находиться между Н и К, только и всего.
Вместо трапеции будет четырехугольник состоящий из двух прямоугольных треугольников.

Автор:  michel [ 28 сен 2017, 10:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции

Решение через подобие + теорему Пифагора
Изображение

Автор:  Race [ 28 сен 2017, 11:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции

Явно с вечера задачи вредно решать)))

Все решилось на основании простого подобия треугольников с очевидным достроением.

Я же к геометрическому построению пришел при помощи своей "двигательной" геометрии, это уже потом я понял что все элементарно строится через радикальный центр, но так как я редко использую данный раздел, в голове он плохо держится.

В виду исчерпывающего решения michel, построение данной трапеции, скорее всего, будет интересно только Avgustу, так как отображает и его 2е решение.

Изображение

Кстати во втором случае, х получается более красивый 1.2 ровно)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/