Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Планиметрия. Найти площадь трапеции
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 22:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 окт 2015, 14:00
Сообщений: 81
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
В прямoугoльнoм трeугoльникe [math]ABC[/math] кaтeты [math]AC=2[/math], [math]BC=3[/math]. Ha прямую, выхoдящyю чeрeз тoчку [math]C[/math], опущeны двa пeрпeндикулярa [math]AH[/math] и [math]BK[/math]. Извeстнo, что тoчка [math]H[/math] лeжит мeжду [math]C[/math] и [math]K[/math], причeм [math]CK=3CH[/math]. Нaйдите плoщадь тpaпеции [math]AHBK[/math].

Мой рисунок:
Изображение
Я смог выразить все стороны через [math]x[/math], но сам [math]x[/math] найти не получается. Везде получаются тождественные равенства. А если сможем найти [math]x[/math], то можно будет по формуле Брахмагупты найти искомую площадь. Еще я заметил [math]x[/math] и [math]2x[/math], что намекает на точку пересечения медиан [math]H[/math]. Но не знаю, как это можно доказать. Подскажите, что можно сделать?
Моя попытка:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 22:27 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 968
Cпасибо сказано: 169
Спасибо получено:
155 раз в 143 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пока ошибка в определении АК, тройку в квадрат не возвели.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 22:35 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 окт 2015, 14:00
Сообщений: 81
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race писал(а):
Пока ошибка в определении АК, тройку в квадрат не возвели.

Так там же вроде и не нужно.. [math]AK^2 = AH^2+HK^2 = 4-x^2+4x^2 = 4+3x^2[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Flutt1 "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 22:40 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 968
Cпасибо сказано: 169
Спасибо получено:
155 раз в 143 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Flutt1 писал(а):
Race писал(а):
Пока ошибка в определении АК, тройку в квадрат не возвели.

Так там же вроде и не нужно.. [math]AK^2 = AH^2+HK^2 = 4-x^2+4x^2 = 4+3x^2[/math] ?

Да, Вы правы. Будем думать.

Без костылей как без рук.2
Бросается в глаза, что [math]S_{HKB}=2S_{CHB}[/math], так же соответственно [math]S_{AKH}=2S_{AHC}[/math].

[math]cosα=\frac{ 3x }{ 3 }=x[/math] получаем без теоремы косинусов, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник CKB.

Нету времени норм посидеть, завтра на работе решу, так как задача решается геометрическим построением, то аналитически должна решиться в пределах уравнений не выше второй степени.
Геометрически задачу решил, то бишь произвел построение)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 23:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10172
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решал аналитически и получил [math]x=\frac{2}{\sqrt{5}}[/math] и [math]S=\frac{14}{5}[/math]
Но построил графически - явно не то...
А второй корень x=2 дает отрицательное значение BK

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 00:07 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 968
Cпасибо сказано: 169
Спасибо получено:
155 раз в 143 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Жена заругала, пишу с телефона.
Графическое построение:
1. Продолжаем АС за А.
2. Откладываем от С отрезок равный 6, получаем точку D.
3. Соединяем В с D.
4. На CD либо на СВ, как на диаметре, строим окружность, точка ее пересечения с DB будет наша точка К.
5. На АС, как на диаметре, строим окружность, точка ее пересечения с СК, точка Н.

Собственно так же можно построить прямую которой принадлежит АН, от С в сторону В откладываем отрезок равный 1, получаем точку Е, соединяем А с Е, получили прямую которой принадлежит АН.

Используя такое геометрическое построение задача решается в уме, так как СН=х, будет являться высотой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, опущенной на гипотенузу. 1=1*2/2=(х*sqrt5)/2 => х=2/sqrt5

Avgust,
если не ошибся, вроде так) завтра на работе.в автокаде проверю, на телефоне никак.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 02:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10172
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуй, я не ошибся. Площадь трапеции действительно 2.8.
Завтра распишу все формулы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 08:04 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 968
Cпасибо сказано: 169
Спасибо получено:
155 раз в 143 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если и у меня и у Вас, при разных подходах получился один ответ, то вероятность ошибки уменьшилась серьезно)
Кстати, второй корень Вашего решения тоже имеет право на жизнь, просто при нем точка А будет находиться между Н и К, только и всего.
Вместо трапеции будет четырехугольник состоящий из двух прямоугольных треугольников.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 10:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение через подобие + теорему Пифагора
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Flutt1, Race
 Заголовок сообщения: Re: Планиметрия. Найти площадь трапеции
СообщениеДобавлено: 28 сен 2017, 11:58 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 968
Cпасибо сказано: 169
Спасибо получено:
155 раз в 143 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Явно с вечера задачи вредно решать)))

Все решилось на основании простого подобия треугольников с очевидным достроением.

Я же к геометрическому построению пришел при помощи своей "двигательной" геометрии, это уже потом я понял что все элементарно строится через радикальный центр, но так как я редко использую данный раздел, в голове он плохо держится.

В виду исчерпывающего решения michel, построение данной трапеции, скорее всего, будет интересно только Avgustу, так как отображает и его 2е решение.

Изображение

Кстати во втором случае, х получается более красивый 1.2 ровно)


Последний раз редактировалось Race 28 сен 2017, 12:50, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Flutt1
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти площадь трапеции

в форуме Геометрия

IrinaAsyaNastya

3

439

21 май 2013, 00:33

Найти площадь трапеции

в форуме Геометрия

ceos

6

230

25 май 2014, 22:27

Найти площадь трапеции

в форуме Геометрия

oduv

3

784

18 янв 2014, 19:13

Найти периметр и площадь трапеции

в форуме Геометрия

Alina321

3

443

11 дек 2013, 14:49

Найти площадь криволинейной трапеции

в форуме Интегральное исчисление

SLX

3

242

05 дек 2012, 16:54

Найти площадь прямоугольной трапеции

в форуме Геометрия

Sofia Morozova

2

1571

07 апр 2013, 13:48

Найти площадь криволинейной трапеции

в форуме Интегральное исчисление

Mr_Math_Men

1

121

05 июн 2014, 17:48

Найти сторону трапеции и площадь четырехугольника

в форуме Геометрия

Gudleifr

1

88

30 окт 2016, 17:14

Как найти наибольшую площадь трапеции, вписанной в полукруг

в форуме Дифференциальное исчисление

BarteZzZ

4

541

11 янв 2012, 23:56

Найти площадь трапеции и отношение площадей треугольников

в форуме Геометрия

PiFi

1

832

14 окт 2012, 19:44


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved