Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Трапеция против 9-ти классника
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=55789
Страница 1 из 2

Автор:  Anatole [ 25 сен 2017, 14:11 ]
Заголовок сообщения:  Трапеция против 9-ти классника

Через точку, которая делит боковую сторону трапеции в отношении [math]3 \,\colon 1[/math], считая от вершины меньшего основания, параллельно основаниям трапеции проведена прямая. Площади, образовавшихся при этом трапеций относятся как [math]2 \,\colon 1[/math].
Как относятся площади соответствующих трапеций, на которые разделяет заданную трапецию ее средняя линия?

Меня прежде всего интересовало самое общее решение, для произвольных отношений отрезков и площадей. Например, точка делит боковую сторону в отношении [math]p \,\colon q[/math], а заданное отношение площадей образовавшихся трапеций равно [math]k[/math].

На мой взгляд задача несколько сложна для 9-го класса. А что скажут эксперты?

Автор:  swan [ 25 сен 2017, 14:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Трапеция против 9-ти классника

Ничего сложного в задаче нет

Автор:  Race [ 25 сен 2017, 14:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Трапеция против 9-ти классника

Вроде решаемо.
Самое сложное, для меня, было прийти к необходимости выразить часть площади, дальше механические действия.
С другой стороны, задача больше на смекалку, чем на геометрию.

Автор:  michel [ 25 сен 2017, 14:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Трапеция против 9-ти классника

Anatole писал(а):
На мой взгляд задача несколько сложна для 9-го класса. А что скажут эксперты?

А почему сложна именно для 9 класса, а не для 11 класса? Ведь в 9 классе изучение планиметрии заканчивается.

Автор:  Anatole [ 25 сен 2017, 14:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Трапеция против 9-ти классника

michel
Возможно Вы видите элементарное решение, но у меня эта задача заняла время.
Покажите Ваше решение, тогда будет предметный разговор о сложности.
Я пока не выкладываю свое решение, чтобы публика не потеряла интерес. :)

Автор:  Race [ 25 сен 2017, 15:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Трапеция против 9-ти классника

Обозначим отрезок который отсекает прямая внутри трапеции как [math]c[/math] имеем:
[math]\frac{ 2 }{ 3 }S=\frac{ 3h }{ 8 }(a+c)[/math] (1)

[math]\frac{ 1 }{ 3 }S=\frac{ h }{ 8 }(b+c)[/math] (2)
Из (1) и (2) получаем [math]c[/math]:

[math]c=2b-3a[/math] (3)
Подставляем (3) в (1) получаем:

[math](b-a)h=\frac{ 8 }{ 9 }S[/math] (4)
Рассмотрим трапецию ограниченную [math]a[/math] и [math]c[/math], мы знаем что ее площадь составляет [math]\frac{ 2 }{ 3 }S[/math], соответственно имеем:

[math]\frac{ 2 }{ 3 }S=\frac{ 1 }{ 2 }(a+\frac{ a+b }{ 2 })\frac{ h }{ 2 }+\frac{ 1 }{ 2 }(\frac{ a+b }{ 2 }+2b-3a)\frac{ h }{ 4 } \Rightarrow S_{1}= \frac{ h }{ 8 }(3a+b)=\frac{ 2 }{ 3 } S-\frac{ 5 }{ 16 }(b-a)h[/math] (5)
Подставим (4) в (5)

[math]S_{1} =\frac{ 7 }{ 18 }S[/math] (6)

[math]S_{2}=S-S_{1}=\frac{ 11 }{ 18 }S[/math]

[math]\frac{ S_{1} }{ S_{2} }=\frac{ 7 }{ 11 }[/math]

Если брать не заданные отношения, а переменные, то, безусловно выражение усложнится, но не фатально.
На мой взгляд основная трудность тут в том, что бы разобраться в какую именно сторону двигаться. Особенно если ученик не решал подобных задач.

Автор:  michel [ 25 сен 2017, 16:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Трапеция против 9-ти классника

Anatole писал(а):
michel
Возможно Вы видите элементарное решение, но у меня эта задача заняла время.
Покажите Ваше решение, тогда будет предметный разговор о сложности.
Я пока не выкладываю свое решение, чтобы публика не потеряла интерес. :)

Вот решение
Изображение

Автор:  Race [ 25 сен 2017, 16:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Трапеция против 9-ти классника

michel,
красота в простоте, :Bravo: :good:

Автор:  Race [ 25 сен 2017, 20:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Трапеция против 9-ти классника

Решение от человека решившего данную задачу в уме))
Пунктуация соблюдена.

StrannikPiter писал(а):
Я к сожалению уже не кинд, и уже не особо вундер. ;D

Соотношение 3:1 дает 4 полосы равной ширины. Для вычисления площади нужны средние линии трапеций, значит делю еще пополам, получаю 8 полос.
Допустим маленькое основание обозначу "a", а большое "b". Тогда размеры горизонтальных отрезков будут линейно расти по формуле
S[math]_{i}[/math]= (i/8)*(b-a) + a
где i=0 соответствует отрезку "a", а i=8 - отрезку b
Для верхней трапеции средней линией будет линия с индексом 3, а для нижней - 7
Так как нас интересует соотношение и чтобы не париться с дробями в уме, домножаю на 8
S[math]_{3}[/math] = 3(b-a) + 8a = 3b + 5a
S[math]_{7}[/math] = 7(b-a) + 8a = 7b + a
Теперь учитываю, что высота верхней в 3 раза больше, а площадь нижней в 2 раза меньше и получаю уравнение
3*(3b + 5a) = 2*(7b + a)
9b +15a = 14b + 2a
13a = 5b
Теперь осталось представить, что маленькое основание равно 5, а большое 13. Разница 8, то есть на каждый горизонтальный отрезок будет добавляться по 1.
Нас интересуют S[math]_{2}[/math] и S[math]_{6}[/math]. Они будут соответственно 7 и 11.

Писал этот пост дольше, чем решал. :)

Автор:  Race [ 27 сен 2017, 09:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Трапеция против 9-ти классника

Еще одно решение в уме. Так как публикую чужой материал, то сохраняю пунктуацию.
1 цитата - авторское решение.
2 цитата - перевод на понятный язык.

Головолом писал(а):
Вставлю свои рассуждения по трапеции, может они совпадут с одним из решения Рейса:

Начало, как и у Странника: разбиваем трапецию на четыре с одинаковой высотой.
Соотношение площадей 2:1 даёт нам общую площадь в 3 единицы.
Среднее значение площадей будет 3/4, т.к. бОльшая площадь равна 1, с противоположной стороны ей будет соответствовать площадь в 1/2
Ну и разбив данный промежуток на 3 отрезка, получим площади двух средних трапеций 5/6 и 4/6
Суммируем соответствующие площади 1/2+4/6=7/6 и 5/6+1=11/6. Отсюда получаем соотношение площадей как 7:11



StrannikPiter писал(а):

Решение Головолома мутновато изложено, но в целом понятно. Оно проще моего, но в уме им сложнее решать, так как вычисления в дробях.
Вот перевод с головоломовского языка на странниковский:
"Начало, как и у Странника: разбиваем трапецию на четыре с одинаковой высотой.
Соотношение площадей 2:1 даёт нам общую площадь в 3 единицы."

Это понятно.

"Среднее значение площадей будет 3/4, т.к. бОльшая площадь равна 1, с противоположной стороны ей будет соответствовать площадь в 1/2"
Это рассуждение несколько сложновато. Я бы иначе сформулировал. Трапеция, состоящая из двух средних частей и исходная трапеция имеют общую среднюю линию, но отличаются по высоте в 2 раза. Значит если общая площадь = 3, то суммарная площадь 2 и 3 полосы = 1.5. И учитывая, что площадь 4 части = 1, площадь верхней = 3 - 1.5 - 1 = 0.5

"Ну и разбив данный промежуток на 3 отрезка, получим площади двух средних трапеций 5/6 и 4/6"
Вот эту фразу я совсем не понял, но получить площади средних частей можно так. Трапеция, состоящая из трех верхних полос (ее площадь = 2) и вторая полоса имеют общую среднюю линию, а по высоте отличаются в 3 раза. Значит площадь второй полосы 2/3 (ну или 4/6). Из 1.5 вычитаем 2/3 получаем 5/6. Это площадь 3 полосы.

"Суммируем соответствующие площади 1/2+4/6=7/6 и 5/6+1=11/6. Отсюда получаем соотношение площадей как 7:11"
Это уже тоже понятно

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/