Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Трапеция против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 15:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2438
Cпасибо сказано: 191
Спасибо получено:
761 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 201

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Через точку, которая делит боковую сторону трапеции в отношении [math]3 \,\colon 1[/math], считая от вершины меньшего основания, параллельно основаниям трапеции проведена прямая. Площади, образовавшихся при этом трапеций относятся как [math]2 \,\colon 1[/math].
Как относятся площади соответствующих трапеций, на которые разделяет заданную трапецию ее средняя линия?

Меня прежде всего интересовало самое общее решение, для произвольных отношений отрезков и площадей. Например, точка делит боковую сторону в отношении [math]p \,\colon q[/math], а заданное отношение площадей образовавшихся трапеций равно [math]k[/math].

На мой взгляд задача несколько сложна для 9-го класса. А что скажут эксперты?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 15:39 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3016
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
666 раз в 601 сообщениях
Очков репутации: 194

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ничего сложного в задаче нет

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 15:43 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 889
Cпасибо сказано: 147
Спасибо получено:
139 раз в 127 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде решаемо.
Самое сложное, для меня, было прийти к необходимости выразить часть площади, дальше механические действия.
С другой стороны, задача больше на смекалку, чем на геометрию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 15:46 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1418
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
520 раз в 485 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Anatole писал(а):
На мой взгляд задача несколько сложна для 9-го класса. А что скажут эксперты?

А почему сложна именно для 9 класса, а не для 11 класса? Ведь в 9 классе изучение планиметрии заканчивается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 15:57 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
10 фев 2013, 22:28
Сообщений: 2438
Cпасибо сказано: 191
Спасибо получено:
761 раз в 708 сообщениях
Очков репутации: 201

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
Возможно Вы видите элементарное решение, но у меня эта задача заняла время.
Покажите Ваше решение, тогда будет предметный разговор о сложности.
Я пока не выкладываю свое решение, чтобы публика не потеряла интерес. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 16:01 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 889
Cпасибо сказано: 147
Спасибо получено:
139 раз в 127 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Обозначим отрезок который отсекает прямая внутри трапеции как [math]c[/math] имеем:
[math]\frac{ 2 }{ 3 }S=\frac{ 3h }{ 8 }(a+c)[/math] (1)

[math]\frac{ 1 }{ 3 }S=\frac{ h }{ 8 }(b+c)[/math] (2)
Из (1) и (2) получаем [math]c[/math]:

[math]c=2b-3a[/math] (3)
Подставляем (3) в (1) получаем:

[math](b-a)h=\frac{ 8 }{ 9 }S[/math] (4)
Рассмотрим трапецию ограниченную [math]a[/math] и [math]c[/math], мы знаем что ее площадь составляет [math]\frac{ 2 }{ 3 }S[/math], соответственно имеем:

[math]\frac{ 2 }{ 3 }S=\frac{ 1 }{ 2 }(a+\frac{ a+b }{ 2 })\frac{ h }{ 2 }+\frac{ 1 }{ 2 }(\frac{ a+b }{ 2 }+2b-3a)\frac{ h }{ 4 } \Rightarrow S_{1}= \frac{ h }{ 8 }(3a+b)=\frac{ 2 }{ 3 } S-\frac{ 5 }{ 16 }(b-a)h[/math] (5)
Подставим (4) в (5)

[math]S_{1} =\frac{ 7 }{ 18 }S[/math] (6)

[math]S_{2}=S-S_{1}=\frac{ 11 }{ 18 }S[/math]

[math]\frac{ S_{1} }{ S_{2} }=\frac{ 7 }{ 11 }[/math]

Если брать не заданные отношения, а переменные, то, безусловно выражение усложнится, но не фатально.
На мой взгляд основная трудность тут в том, что бы разобраться в какую именно сторону двигаться. Особенно если ученик не решал подобных задач.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 17:12 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1418
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
520 раз в 485 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Anatole писал(а):
michel
Возможно Вы видите элементарное решение, но у меня эта задача заняла время.
Покажите Ваше решение, тогда будет предметный разговор о сложности.
Я пока не выкладываю свое решение, чтобы публика не потеряла интерес. :)

Вот решение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Anatole, Race, swan
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 17:25 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 889
Cпасибо сказано: 147
Спасибо получено:
139 раз в 127 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel,
красота в простоте, :Bravo: :good:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 21:57 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 889
Cпасибо сказано: 147
Спасибо получено:
139 раз в 127 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение от человека решившего данную задачу в уме))
Пунктуация соблюдена.

StrannikPiter писал(а):
Я к сожалению уже не кинд, и уже не особо вундер. ;D

Соотношение 3:1 дает 4 полосы равной ширины. Для вычисления площади нужны средние линии трапеций, значит делю еще пополам, получаю 8 полос.
Допустим маленькое основание обозначу "a", а большое "b". Тогда размеры горизонтальных отрезков будут линейно расти по формуле
S[math]_{i}[/math]= (i/8)*(b-a) + a
где i=0 соответствует отрезку "a", а i=8 - отрезку b
Для верхней трапеции средней линией будет линия с индексом 3, а для нижней - 7
Так как нас интересует соотношение и чтобы не париться с дробями в уме, домножаю на 8
S[math]_{3}[/math] = 3(b-a) + 8a = 3b + 5a
S[math]_{7}[/math] = 7(b-a) + 8a = 7b + a
Теперь учитываю, что высота верхней в 3 раза больше, а площадь нижней в 2 раза меньше и получаю уравнение
3*(3b + 5a) = 2*(7b + a)
9b +15a = 14b + 2a
13a = 5b
Теперь осталось представить, что маленькое основание равно 5, а большое 13. Разница 8, то есть на каждый горизонтальный отрезок будет добавляться по 1.
Нас интересуют S[math]_{2}[/math] и S[math]_{6}[/math]. Они будут соответственно 7 и 11.

Писал этот пост дольше, чем решал. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Anatole
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция против 9-ти классника
СообщениеДобавлено: 27 сен 2017, 10:26 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 889
Cпасибо сказано: 147
Спасибо получено:
139 раз в 127 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще одно решение в уме. Так как публикую чужой материал, то сохраняю пунктуацию.
1 цитата - авторское решение.
2 цитата - перевод на понятный язык.

Головолом писал(а):
Вставлю свои рассуждения по трапеции, может они совпадут с одним из решения Рейса:

Начало, как и у Странника: разбиваем трапецию на четыре с одинаковой высотой.
Соотношение площадей 2:1 даёт нам общую площадь в 3 единицы.
Среднее значение площадей будет 3/4, т.к. бОльшая площадь равна 1, с противоположной стороны ей будет соответствовать площадь в 1/2
Ну и разбив данный промежуток на 3 отрезка, получим площади двух средних трапеций 5/6 и 4/6
Суммируем соответствующие площади 1/2+4/6=7/6 и 5/6+1=11/6. Отсюда получаем соотношение площадей как 7:11



StrannikPiter писал(а):

Решение Головолома мутновато изложено, но в целом понятно. Оно проще моего, но в уме им сложнее решать, так как вычисления в дробях.
Вот перевод с головоломовского языка на странниковский:
"Начало, как и у Странника: разбиваем трапецию на четыре с одинаковой высотой.
Соотношение площадей 2:1 даёт нам общую площадь в 3 единицы."

Это понятно.

"Среднее значение площадей будет 3/4, т.к. бОльшая площадь равна 1, с противоположной стороны ей будет соответствовать площадь в 1/2"
Это рассуждение несколько сложновато. Я бы иначе сформулировал. Трапеция, состоящая из двух средних частей и исходная трапеция имеют общую среднюю линию, но отличаются по высоте в 2 раза. Значит если общая площадь = 3, то суммарная площадь 2 и 3 полосы = 1.5. И учитывая, что площадь 4 части = 1, площадь верхней = 3 - 1.5 - 1 = 0.5

"Ну и разбив данный промежуток на 3 отрезка, получим площади двух средних трапеций 5/6 и 4/6"
Вот эту фразу я совсем не понял, но получить площади средних частей можно так. Трапеция, состоящая из трех верхних полос (ее площадь = 2) и вторая полоса имеют общую среднюю линию, а по высоте отличаются в 3 раза. Значит площадь второй полосы 2/3 (ну или 4/6). Из 1.5 вычитаем 2/3 получаем 5/6. Это площадь 3 полосы.

"Суммируем соответствующие площади 1/2+4/6=7/6 и 5/6+1=11/6. Отсюда получаем соотношение площадей как 7:11"
Это уже тоже понятно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Anatole
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Тест на сообразительность для 5-классника

в форуме Экономика и Финансы

ALEXIN

10

1588

07 май 2013, 12:55

Ферзь против ладьи

в форуме Размышления по поводу и без

Vadim Shlovikov

6

173

23 апр 2017, 18:55

Обход против часовой стрелки

в форуме Интегральное исчисление

andrewp

0

236

18 дек 2013, 18:11

Вольфрам против Амелина, кто сильнее

в форуме Дискуссионные математические проблемы

ALEXIN

39

1223

06 фев 2015, 10:42

Задача на движение по течению и против течения

в форуме Алгебра

IrinaKalina

4

484

03 янв 2014, 23:29

Зевс против Монстровдля детские развивающие игры

в форуме Объявления участников Форума

peaksel

0

108

07 мар 2016, 19:08

Абсолютная система отсчета против абсолютной относительности

в форуме Палата №6

ivashenko

13

554

07 фев 2016, 01:02

Вадима Шловикова метод слона против ладьи

в форуме Размышления по поводу и без

Vadim Shlovikov

0

96

15 авг 2016, 15:22

Моторная лодка прошла 28км по течению реки и 25км против

в форуме Алгебра

Shkolnik99

1

450

21 май 2014, 20:49

Трапеция

в форуме Геометрия

Firsov34

5

362

19 дек 2015, 23:20


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved