Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 20 авг 2017, 12:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начал пополнять банк формул для трапеции.
Дано: [math]a\, , \, b\, , \, d\, , \, n \quad[/math] (напомню, что n=FG - медиана трапеции).
Найти: [math]c\, , \, d_1\, ,\, d_2\, , \, h[/math]

Вывел такие формулы:

[math]c=\sqrt{2n^2-d^2+\frac{(a-b)^2}{2}}[/math]

[math]d_1=\sqrt{\frac{a(ab+2d^2)-b[b^2-2(d^2-2n^2)]}{2(a-b)}}[/math]

[math]d_2=\sqrt{\frac{a(a^2-b^2-2d^2)-2(bd^2-2an^2)}{2(a-b)}}[/math]

[math]h=\frac{\sqrt{ [a-b+2(d-n)][a-b-2(d-n)][-a+b+2(d+n)][a-b+2(d+n)]}}{4(b-a)}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 21 авг 2017, 19:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Понял, наконец, насколько многогранна и сложна трапеция общего вида. И насколько же слаба аналитическая база этой одной из главных геометрических фигур. Трапеция имеет восемь основных параметров: [math]a,\, b,\, c,\, d,\, d_1,\,d_2,\, h,\, n[/math]. Зная любые четыре параметра, можно найти аналитически остальные. Итого будем иметь [math]1680[/math] серий формул. Вот только одна из них:

Дано: [math]a,\, b,\, c,\, h[/math]
Найти: [math]d,\, d_1,\, d_2,\, n[/math]

[math]d=\sqrt{(a-b)(a-b-2\sqrt{c^2-h^2})+c^2}[/math]

[math]d_1=\sqrt{a^2+c^2-2a\sqrt{c^2-h^2}}[/math]

[math]d_2=\sqrt{b^2+c^2+2b\sqrt{c^2-h^2}}[/math]

[math]n=\sqrt{(b-a)\left (\sqrt{c^2-h^2}+\frac{b-a}{4} \right )+c^2}[/math]

Работа будет грандиозная. Попытаюсь ее автоматизировать в системе Maple. Получится минимум двухтомник с красивейшими формулами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 23 авг 2017, 19:27 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Начал разбираться с основными формулами для трапеции, которые приведены в Википедии. Пришел к такому выводу. Тождества:

[math]d_1=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math]

[math]d_2=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}[/math]

хоть и верные с точки зрения расчетов, но неудачные с точки зрения канонов линейной геометрии. Не должны быть сомножители типа [math]ab[/math]. Отталкиваясь от геометрии Евклида, я получил канонически безупречные связи:

[math]d_1=\sqrt{\frac{a(d^2-b^2)+b(a^2-c^2)}{a-b}}[/math]

[math]d_2=\sqrt{\frac{a(c^2-b^2)+b(a^2-d^2)}{a-b}}[/math]

Здесь уже все логично и однотипно с точки зрения знаков. Соответственно можем генерировать следующие выражения (пишу в кодах для краткости и возможности проверки результатов):

a = (b^2+d_1^2-d^2+sqrt((b^2-d^2+d_1^2)^2-4*b^2*(-c^2+d_1^2)))/(2*b)
a = (b^2+d_2^2-c^2-sqrt((b^2-c^2+d_2^2)^2-4*b^2*(-d^2+d_2^2)))/(2*b)
b = (a^2+d_1^2-c^2+sqrt((a^2-c^2+d_1^2)^2+4*a^2*(d^2-d_1^2)))/(2*a)
b = (a^2+d_2^2-d^2-sqrt((a^2-d^2+d_2^2)^2-4*a^2*(-c^2+d_2^2)))/(2*a)
c = sqrt((a*(-b^2+d^2-d_1^2)+b*(a^2+d_1^2))/b)
c = sqrt((b*(-a^2+d^2-d_2^2)+a*(b^2+d_2^2))/a)
d = sqrt((b*(-a^2+c^2-d_1^2)+a*(b^2+d_1^2))/a)
d = sqrt((a*(-b^2+c^2-d_2^2)+b*(a^2+d_2^2))/b)

Работа непростая, ибо каждую формулу приходится проверять на четырех числовых примерах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 24 авг 2017, 22:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хочу получить от вас совет, уважаемые коллеги-математики.
Столкнулся с проблемой выбора наилучшей формулы из множества возможных. Поясню на примере.
Пусть в трапеции заданы параметры [math]b,\, c,\, d_2[/math]. Нужно найти формулу для высоты трапеции [math]h[/math].
Из геометрии я получил два представления:

[math]h=\frac{1}{2b}\sqrt{d_2^2\big [2(b^2+c^2)-d_2^2 \big ]-(b^2-c^2)^2}[/math]

[math]h=\frac{1}{2b}\sqrt{(b+c+d_2)(b+c-d_2)(b-c+d_2)(-b+c+d_2)}[/math]

В интернете встретил еще две формулы:

[math]h=\frac 2b \sqrt{p(p-b)(p-c)(p-d_2)}[/math]

где [math]p=0.5(b+c+d_2)[/math]


[math]h=\frac{1}{2b}\sqrt{\big ( b^2+c^2+d_2^2 \big )^2-2\big (b^4+c^4+d_2^4 \big )}[/math]

Какую же из этих четырех формул выбрать? Существует ли критерий предпочтительности?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 25 авг 2017, 04:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вольфрам дал даже 8 форм выражения под корнем, и все они длиннее исходника:

Изображение

Однако слабо Вольфраму найти самый "собранный" вариант:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Окружность и отрезок

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Nikolay Moskvitin

0

171

15 фев 2015, 23:02

Задача про отрезок

в форуме Теория вероятностей

ANDERSOON

1

218

17 май 2014, 13:49

Трапеция

в форуме Геометрия

Kristinadefa

0

197

24 сен 2015, 15:57

Трапеция

в форуме Геометрия

asasdsa

2

376

10 апр 2013, 20:40

Трапеция

в форуме Геометрия

Firsov34

5

366

19 дек 2015, 23:20

Трапеция

в форуме Геометрия

sfanter

3

126

23 июл 2014, 12:38

Трапеция

в форуме Геометрия

Woxa999

2

201

22 ноя 2014, 19:58

Трапеция

в форуме Геометрия

sfanter

1

142

05 апр 2015, 23:15

Трапеция

в форуме Геометрия

shcolnik

3

204

21 апр 2015, 20:53

Трапеция

в форуме Геометрия

kolysanka

3

88

08 апр 2016, 01:55


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 41


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved