Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 36 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Avgust |
|
|
Выводить формулу лень. Может, кто знает формулу? В зависимости от сторон трапеции, или же в зависимости от оснований и диагоналей. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Почему у меня возник этот вопрос? Ведь что такое трапеция? Она по сути - усеченный треугольник. В треугольнике одной из важнейших линий считается медиана EG. Очевидно, отрезок FG является оставшейся частью медианы треугольника AED. То есть его, этот отрезок, можно назвать медианой трапеции ABCD.
Но почему-то везде и всюду любят говорить только о средней линии трапеции m и совершенно не интересуются медианой. Хотя наверняка в литературе формула для FG получена, но в учебниках не распространилась. Попытаемся вывести длину медианы трапеции. Из рисунка хорошо видно, что сторона трапеции [math]c[/math] в линейной пропорции увеличивается с уменьшением основания [math]a[/math] путем его перемещения вверх. И наступит такой момент, когда [math]a=0[/math]. Это произойдет в точке E. Составим пропорцию: [math]\frac{b-a}{c}=\frac{b-0}{c_t}[/math] где [math]c_t \,[/math] - сторона треугольника AE Отсюда [math]c_t=\frac{c\, b}{b-a} \qquad \quad (1)[/math] Аналогично для стороны [math]d_t=DE[/math]: [math]d_t=\frac{d\, b}{b-a} \qquad \quad (2)[/math] Длина медианы EG, как известно, находится по формуле: [math]EG=\frac 12 \sqrt{2 c_t^2+2d_t^2-b^2}[/math] Тогда длина медианы EF: [math]EF=\frac 12 \sqrt{2 (c_t-c)^2+2(d_t-d)^2-a^2}[/math] Длина медианы трапеции: [math]FG=EG-EF[/math] Подставив сюда выражения (1) и (2) и упростив формулу, получим нечто изящное: [math]FG=\frac 12 \sqrt{(a-b)^2-2(c^2+d^2)} \qquad \quad (3)[/math] Мы нашли медиану трапеции в функции от ее сторон. Чтобы найти эту же медиану в функции от оснований трапеции и ее диагоналей, воспользуемся известным тождеством: [math]d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2[/math] И тогда [math]FG=\frac 12 \sqrt{(a-b)^2-2(d_1^2+d_2^2-2a\,b)} \qquad \quad (4)[/math] А в функции от боковых сторон и диагоналей я получил недавно в другой теме нашего форума. Там мне коллега помог сильно упростить жутко большую формулу. И эта упрощенная формула такая: [math]FG=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{(c^2+d^2)(d_1^2-d_2^2)^2-(c^2-d^2)^2(d_2^2+d_2^2)}{(d_1^2-d_2^2)^2 - (c^2-d^2)^2}} \qquad \quad (5)[/math] Итак, найдены три представления медианы трапеции FG. Мне кажется, знание формул (3), (4) и (5) существенно должно упростить решение многих геометрических задач. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: Race |
||
Race |
|
|
Avgust,
про гармоническую линию трапеции тоже редко упоминают, а она, сама по себе не менее интересна. Хотя бы тем что её легко посчитать аналитически и то что для любой трапеции она бьется на 2 равные части точкой пересечения диагоналей. Формула (3) с ходу вызывает вопросы. Вы там точно с знаком не напутали? Может все таки разность боковых сторон, а не сумма? Что то мне не верится, что эта формула подходит для толстых и низких трапеций, а для высоких и тощих не подходит. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: Avgust |
||
Avgust |
|
|
Race, будем проверять. Ошибки мне совсем не нужны.
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Race, да! Вы правы! Должно быть наоборот:
[math]FG=\frac 12 \sqrt{2(c^2+d^2)-(a-b)^2} \qquad \quad (3)[/math] Когда искал эту формулу и проверял численно, не заметил значка i . Исправленную формулу проверил на широких и высоких трапециях (размеры в см): a=10.6 ; b=17.8 ; c=4.8 ; d=6.8 ; измерил FG=4.7 ; по формуле (3) FG=4.66 a=2 ; b=5.25 ; c=11.9 ; d=12.0 ; измерил FG=11.8 ; по формуле (3) FG=11.84 |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
Почему вы не используете теорему Апоплония7
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
vorvalm, как-то не сообразил. Покажите, если нетрудно. Будет не только мне интересно.
Забыл выше сказать, что и формула (4) немного изменилась: [math]FG=\frac 12 \sqrt{2(d_1^2+d_2^2-2a\,b)-(a-b)^2} \qquad \quad (4)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
vorvalm |
|
|
Это теорема для отпределения медианы треугольника через его стороны.
Для трапеции она также подходит. (википедия) |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
vorvalm писал(а): Это теорема для отпределения медианы треугольника через его стороны. Так у меня на этой формуле вывод и основан. Смотрите мой второй пост. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Итак, если с благодарностью учесть мои огрехи, да еще и замеченные мной опечатки, то главный лист этой темы выглядит так:
Что такое трапеция? Она по сути - усеченный треугольник. В треугольнике одной из важнейших линий считается медиана EG. Очевидно, отрезок FG является оставшейся частью медианы треугольника AED. То есть его, этот отрезок, можно назвать медианой трапеции ABCD. Но почему-то везде и всюду любят говорить только о средней линии трапеции m и совершенно не интересуются медианой. Хотя наверняка в литературе формула для FG получена, но в учебниках не распространилась. Попытаемся вывести длину медианы трапеции. Из рисунка хорошо видно, что сторона трапеции [math]c[/math] в линейной пропорции увеличивается с уменьшением основания [math]a[/math] путем его перемещения вверх. И наступит такой момент, когда [math]a=0[/math]. Это произойдет в точке E. Составим пропорцию: [math]\frac{b-a}{c}=\frac{b-0}{c_t}[/math] где [math]c_t \,[/math] - сторона треугольника AE Отсюда [math]c_t=\frac{c\, b}{b-a} \qquad \quad (1)[/math] Аналогично для стороны [math]d_t=DE[/math]: [math]d_t=\frac{d\, b}{b-a} \qquad \quad (2)[/math] Длина медианы EG, как известно, находится по формуле: [math]EG=\frac 12 \sqrt{2 c_t^2+2d_t^2-b^2}[/math] Тогда длина медианы EF: [math]EF=\frac 12 \sqrt{2 (c_t-c)^2+2(d_t-d)^2-a^2}[/math] Длина медианы трапеции: [math]FG=EG-EF[/math] Подставив сюда выражения (1) и (2) и упростив формулу, получим нечто изящное: [math]FG=\frac 12 \sqrt{2(c^2+d^2)-(a-b)^2} \qquad \quad (3)[/math] Мы нашли медиану трапеции в функции от ее сторон. Чтобы найти эту же медиану в функции от оснований трапеции и ее диагоналей, воспользуемся известным тождеством: [math]d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2[/math] И тогда [math]FG=\frac 12 \sqrt{2(d_1^2+d_2^2-2a\,b)-(a-b)^2} \qquad \quad (4)[/math] А в функции от боковых сторон и диагоналей я получил недавно в другой теме нашего форума. Там мне коллега помог сильно упростить жутко большую формулу. И эта упрощенная формула такая: [math]FG=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{(c^2+d^2)(d_1^2-d_2^2)^2-(c^2-d^2)^2(d_1^2+d_2^2)}{(d_1^2-d_2^2)^2 - (c^2-d^2)^2}} \qquad \quad (5)[/math] Итак, найдены три представления медианы трапеции FG. Мне кажется, знание формул (3), (4) и (5) существенно должно упростить решение многих геометрических задач. Сделал проверку для "широких" и "высоких" трапеций: Вроде, теперь ошибок нет! |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: Race |
||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 36 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Трапеция
в форуме Геометрия |
3 |
467 |
21 апр 2015, 19:53 |
|
Трапеция
в форуме Геометрия |
5 |
1179 |
19 дек 2015, 22:20 |
|
Трапеция
в форуме Геометрия |
2 |
353 |
22 ноя 2014, 18:58 |
|
Трапеция
в форуме Геометрия |
2 |
378 |
11 май 2021, 20:33 |
|
Трапеция
в форуме Геометрия |
0 |
445 |
24 сен 2015, 14:57 |
|
Трапеция
в форуме Геометрия |
3 |
330 |
23 июл 2014, 11:38 |
|
Трапеция
в форуме Палата №6 |
1 |
247 |
18 июл 2021, 17:18 |
|
Трапеция
в форуме Геометрия |
6 |
392 |
26 мар 2020, 21:19 |
|
Трапеция
в форуме Геометрия |
5 |
249 |
24 июл 2020, 09:15 |
|
Трапеция
в форуме Геометрия |
3 |
331 |
08 апр 2016, 00:55 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: ges и гости: 20 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |