Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 10 авг 2017, 02:38 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10175
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нигде не могу найти формулу для отрезка FG (все обозначения взял из Википедии):

Изображение

Выводить формулу лень. Может, кто знает формулу? В зависимости от сторон трапеции, или же в зависимости от оснований и диагоналей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 10 авг 2017, 12:35 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10175
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почему у меня возник этот вопрос? Ведь что такое трапеция? Она по сути - усеченный треугольник. В треугольнике одной из важнейших линий считается медиана EG. Очевидно, отрезок FG является оставшейся частью медианы треугольника AED. То есть его, этот отрезок, можно назвать медианой трапеции ABCD.
Но почему-то везде и всюду любят говорить только о средней линии трапеции m и совершенно не интересуются медианой. Хотя наверняка в литературе формула для FG получена, но в учебниках не распространилась.

Изображение

Попытаемся вывести длину медианы трапеции.
Из рисунка хорошо видно, что сторона трапеции [math]c[/math] в линейной пропорции увеличивается с уменьшением основания [math]a[/math] путем его перемещения вверх. И наступит такой момент, когда [math]a=0[/math]. Это произойдет в точке E. Составим пропорцию:

[math]\frac{b-a}{c}=\frac{b-0}{c_t}[/math]

где [math]c_t \,[/math] - сторона треугольника AE

Отсюда [math]c_t=\frac{c\, b}{b-a} \qquad \quad (1)[/math]

Аналогично для стороны [math]d_t=DE[/math]:

[math]d_t=\frac{d\, b}{b-a} \qquad \quad (2)[/math]

Длина медианы EG, как известно, находится по формуле:

[math]EG=\frac 12 \sqrt{2 c_t^2+2d_t^2-b^2}[/math]

Тогда длина медианы EF:

[math]EF=\frac 12 \sqrt{2 (c_t-c)^2+2(d_t-d)^2-a^2}[/math]

Длина медианы трапеции:

[math]FG=EG-EF[/math]

Подставив сюда выражения (1) и (2) и упростив формулу, получим нечто изящное:

[math]FG=\frac 12 \sqrt{(a-b)^2-2(c^2+d^2)} \qquad \quad (3)[/math]

Мы нашли медиану трапеции в функции от ее сторон.
Чтобы найти эту же медиану в функции от оснований трапеции и ее диагоналей, воспользуемся известным тождеством:

[math]d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2[/math]

И тогда

[math]FG=\frac 12 \sqrt{(a-b)^2-2(d_1^2+d_2^2-2a\,b)} \qquad \quad (4)[/math]

А в функции от боковых сторон и диагоналей я получил недавно в другой теме нашего форума. Там мне коллега помог сильно упростить жутко большую формулу. И эта упрощенная формула такая:

[math]FG=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{(c^2+d^2)(d_1^2-d_2^2)^2-(c^2-d^2)^2(d_2^2+d_2^2)}{(d_1^2-d_2^2)^2 - (c^2-d^2)^2}} \qquad \quad (5)[/math]

Итак, найдены три представления медианы трапеции FG. Мне кажется, знание формул (3), (4) и (5) существенно должно упростить решение многих геометрических задач.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 10 авг 2017, 14:53 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 975
Cпасибо сказано: 173
Спасибо получено:
157 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust,
про гармоническую линию трапеции тоже редко упоминают, а она, сама по себе не менее интересна.
Хотя бы тем что её легко посчитать аналитически и то что для любой трапеции она бьется на 2 равные части точкой пересечения диагоналей.

Формула (3) с ходу вызывает вопросы.
Вы там точно с знаком не напутали? Может все таки разность боковых сторон, а не сумма?
Что то мне не верится, что эта формула подходит для толстых и низких трапеций, а для высоких и тощих не подходит. :crazy2:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Avgust
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 10 авг 2017, 17:53 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10175
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race, будем проверять. Ошибки мне совсем не нужны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 10 авг 2017, 20:47 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10175
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race, да! Вы правы! Должно быть наоборот:

[math]FG=\frac 12 \sqrt{2(c^2+d^2)-(a-b)^2} \qquad \quad (3)[/math]

Когда искал эту формулу и проверял численно, не заметил значка i . :fool:
Исправленную формулу проверил на широких и высоких трапециях (размеры в см):
a=10.6 ; b=17.8 ; c=4.8 ; d=6.8 ; измерил FG=4.7 ; по формуле (3) FG=4.66
a=2 ; b=5.25 ; c=11.9 ; d=12.0 ; измерил FG=11.8 ; по формуле (3) FG=11.84
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 10 авг 2017, 21:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2901
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
412 раз в 379 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почему вы не используете теорему Апоплония7

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 10 авг 2017, 22:44 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10175
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm, как-то не сообразил. Покажите, если нетрудно. Будет не только мне интересно.

Забыл выше сказать, что и формула (4) немного изменилась:

[math]FG=\frac 12 \sqrt{2(d_1^2+d_2^2-2a\,b)-(a-b)^2} \qquad \quad (4)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 10 авг 2017, 23:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
14 июн 2011, 09:15
Сообщений: 2901
Cпасибо сказано: 45
Спасибо получено:
412 раз в 379 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это теорема для отпределения медианы треугольника через его стороны.
Для трапеции она также подходит. (википедия)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 00:06 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10175
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vorvalm писал(а):
Это теорема для отпределения медианы треугольника через его стороны.
Так у меня на этой формуле вывод и основан. Смотрите мой второй пост.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Трапеция, отрезок FG
СообщениеДобавлено: 11 авг 2017, 07:47 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10175
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 921
Спасибо получено:
3102 раз в 2704 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Итак, если с благодарностью учесть мои огрехи, да еще и замеченные мной опечатки, то главный лист этой темы выглядит так:

Что такое трапеция? Она по сути - усеченный треугольник. В треугольнике одной из важнейших линий считается медиана EG. Очевидно, отрезок FG является оставшейся частью медианы треугольника AED. То есть его, этот отрезок, можно назвать медианой трапеции ABCD.
Но почему-то везде и всюду любят говорить только о средней линии трапеции m и совершенно не интересуются медианой. Хотя наверняка в литературе формула для FG получена, но в учебниках не распространилась.

Изображение

Попытаемся вывести длину медианы трапеции.
Из рисунка хорошо видно, что сторона трапеции [math]c[/math] в линейной пропорции увеличивается с уменьшением основания [math]a[/math] путем его перемещения вверх. И наступит такой момент, когда [math]a=0[/math]. Это произойдет в точке E. Составим пропорцию:

[math]\frac{b-a}{c}=\frac{b-0}{c_t}[/math]

где [math]c_t \,[/math] - сторона треугольника AE

Отсюда

[math]c_t=\frac{c\, b}{b-a} \qquad \quad (1)[/math]

Аналогично для стороны [math]d_t=DE[/math]:

[math]d_t=\frac{d\, b}{b-a} \qquad \quad (2)[/math]

Длина медианы EG, как известно, находится по формуле:

[math]EG=\frac 12 \sqrt{2 c_t^2+2d_t^2-b^2}[/math]

Тогда длина медианы EF:

[math]EF=\frac 12 \sqrt{2 (c_t-c)^2+2(d_t-d)^2-a^2}[/math]

Длина медианы трапеции:

[math]FG=EG-EF[/math]

Подставив сюда выражения (1) и (2) и упростив формулу, получим нечто изящное:

[math]FG=\frac 12 \sqrt{2(c^2+d^2)-(a-b)^2} \qquad \quad (3)[/math]

Мы нашли медиану трапеции в функции от ее сторон.
Чтобы найти эту же медиану в функции от оснований трапеции и ее диагоналей, воспользуемся известным тождеством:

[math]d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2[/math]

И тогда

[math]FG=\frac 12 \sqrt{2(d_1^2+d_2^2-2a\,b)-(a-b)^2} \qquad \quad (4)[/math]

А в функции от боковых сторон и диагоналей я получил недавно в другой теме нашего форума. Там мне коллега помог сильно упростить жутко большую формулу. И эта упрощенная формула такая:

[math]FG=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{(c^2+d^2)(d_1^2-d_2^2)^2-(c^2-d^2)^2(d_1^2+d_2^2)}{(d_1^2-d_2^2)^2 - (c^2-d^2)^2}} \qquad \quad (5)[/math]

Итак, найдены три представления медианы трапеции FG. Мне кажется, знание формул (3), (4) и (5) существенно должно упростить решение многих геометрических задач.

Сделал проверку для "широких" и "высоких" трапеций:
Изображение

Вроде, теперь ошибок нет!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Race
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Окружность и отрезок

в форуме Дискуссионные математические проблемы

Nikolay Moskvitin

0

172

15 фев 2015, 23:02

Задача про отрезок

в форуме Теория вероятностей

ANDERSOON

1

223

17 май 2014, 13:49

Трапеция

в форуме Геометрия

Kristinadefa

0

204

24 сен 2015, 15:57

Трапеция

в форуме Геометрия

asasdsa

2

376

10 апр 2013, 20:40

Трапеция

в форуме Геометрия

Firsov34

5

375

19 дек 2015, 23:20

Трапеция

в форуме Геометрия

sfanter

3

130

23 июл 2014, 12:38

Трапеция

в форуме Геометрия

Woxa999

2

202

22 ноя 2014, 19:58

Трапеция

в форуме Геометрия

sfanter

1

143

05 апр 2015, 23:15

Трапеция

в форуме Геометрия

shcolnik

3

205

21 апр 2015, 20:53

Трапеция

в форуме Геометрия

kolysanka

3

91

08 апр 2016, 01:55


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved