Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 3 |
[ Сообщений: 24 ] | На страницу 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Flutt1 |
|
|
Мой рисунок: По свойству биссектрисы [math]BD[/math] : [math]\frac{ DC }{ BC } = \frac{ AD }{ AB }[/math] [math]\,[/math] [math]\Rightarrow \frac{ BC }{ AB } = \frac{ 2 }{ 1 }[/math] Не вижу, что дальше можно сделать. Подскажите пожалуйста |
||
Вернуться к началу | ||
Xmas |
|
|
Для треугольника ABK расписать углы. По условиям, угол при вершине К в 2 раза меньше, чем при вершине А (и половины углов тоже, разумеется). Получаем, что треугольник ABK - равнобедренный. Так что длина стороны AB равна двум единицам.
|
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Неверная гипотеза - прямая [math]KD[/math] не является биссектрисой угла [math]\angle AKC[/math], поэтому угол [math]\angle AKB[/math] не равен половине угла [math]\angle ABD[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Xmas |
||
Race |
|
|
Если решать маткадом, то как вариант:
1. Находим площадь АВС по герону и через синус угла между АВ и БС. 2. Через теорему косинусов определяем КА и КС, после чего приравниваем площадь АКС и АКБ+КБС+АВС Получаем систему уравнений с 2 неизвестными х и альфа. Но вот вручную решить, таким способом, будет сложновато. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: Flutt1 |
||
michel |
|
|
Задача решается быстро, если установить, что треугольник [math]ABD[/math] - равнобедренный ([math]AB=BD=x[/math]). Тогда по формуле для квадрата биссектрисы [math]BD^2=AB \cdot BC-AD \cdot DC= 2x^2-2[/math] сразу получаем [math]AB=x=\sqrt{2},BC=2x=2\sqrt{2}[/math] и [math]cos \angle ABC=\frac{ 1 }{ 8 }[/math]. Но доказать равнобедренность треугольника [math]ABD[/math] довольно непросто!
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Flutt1, Race |
||
Race |
|
|
Так, на трезвую голову задача оказалась совсем не сложной.
1. Так как [math]BD[/math] биссектриса, то обозначим [math]AB[/math] как [math]x[/math], а [math]BC[/math] как [math]2x[/math]. 2. Опишем окружность вокруг [math]AKC[/math]. 3. Продолжим стороны треугольника [math]AB[/math] и [math]BC[/math] до пересечения с окружностью в точках [math]C1[/math] и [math]A1[/math], продолжим биссектрису [math]BD[/math] до её пересечения с окружностью в точке [math]K1[/math]. 4. Обозначим угол [math]ABC[/math] как [math]2α[/math] , тогда соответственно угол [math]AKC[/math] равен [math]α[/math] 5. [math]∠ABC=\frac{ ∩AC+∩C1A1 }{ 2 }[/math] но [math]∠ABC=∩AC=2α \Rightarrow ∩C1A1=∩AC=2α[/math] 6. [math]AC=A1C1 \Rightarrow AA1 \parallel CC1 \Rightarrow ACC1A1[/math] равнобочная трапеция, а это значит что [math]AC1=A1C[/math], так как они являются диагоналями равнобочной трапеции, соответственно [math]CB=BC1=2x[/math], а [math]AB=BA1=x[/math] 7. В принципе в равнобочной трапеции биссектриса угла между диагоналями параллельна основаниям, насколько я знаю это общеизвестный факт. Доказать можно через подобие треугольников [math]A1D1B \sim ABD[/math] или [math]D1C1B \sim BCD[/math], но так как соответствующие стороны (к примеру [math]A1B=BA[/math]), то треугольники конгруэнтны, из чего следует, что в силу симметрии [math]KK1 \parallel A1A \parallel C1C[/math], либо через перпендикулярность [math]DD1[/math] высоте трапеции, если данную высоту провести через пересечение диагоналей, то опять же в силу симметрии, данная высота будет второй биссектрисой делящий смежный с [math]ABC[/math] угол. 8. В силу той же симметрии [math]KB=BK1=2[/math] (при необходимости так же можно доказать через подобие треугольников) 9. Так как [math]A1C[/math] и [math]KK1[/math] являются хордами окружности, пересекающимися в точке [math]B[/math], то [math]A1B \cdot BC=KB \cdot BK1 \Rightarrow 2x^{2}=4 \Rightarrow AB=x=\sqrt{2}[/math], а [math]BC=2AB=2\sqrt{2}[/math] 10. значение косинуса [math]∠ABC[/math] определим через теорему косинусов: [math]cos∠ABC=\frac{ AB^{2}+BC^{2}-CA^{2} }{ 2AB \cdot BC }=\frac{ 3 }{ 8 }[/math] Произвел построение используя косинус угла и заданные длины отрезков. Построение не вышло. В тоже самое время не могу найти ошибку в расчетах. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: chebo, Flutt1 |
||
Race |
|
|
Нашел опечатку, косинус угла совершенно правильно посчитан у michel
10. значение косинуса [math]∠ABC[/math] определим через теорему косинусов: [math]cos∠ABC=\frac{ AB^{2}+BC^{2}-CA^{2} }{ 2AB \cdot BC }=\frac{ 1 }{ 8 }[/math] Вот так наш треугольник будет выглядеть в натуре) Предложенный метод подходит для произвольно заданных значений [math]AD[/math], [math]DC[/math] и [math]BK[/math], необходимым условием будет являться отношение углов [math]ABC[/math]и [math]AKB[/math] как [math]2[/math] к [math]1[/math] . |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: Flutt1, michel |
||
Race |
|
|
Меня смущает то, что при решении максимальная степень полиномов была не выше 2, а это в свою очередь показывает что данная задача должна иметь геометрическое решение при помощи циркуля и линейки, но с какой стороны подступиться, я ума не приложу
|
||
Вернуться к началу | ||
chebo |
|
|
А меня смущает вот этот пункт в решении:
Race писал(а): 5. ∠ABC=(∩AC+∩C1A1)/2 но ∠ABC=∩AC=2α⇒∩C1A1=∩AC=2α |
||
Вернуться к началу | ||
Race |
|
|
chebo,
угол [math]AKC[/math] вписанный, а это значит что он опирается на дугу равную удвоенному значению угла [math]∩AC=2∠AKB=2α=∠ABC[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 24 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти стороны треугольника
в форуме Алгебра |
2 |
485 |
22 июл 2014, 11:47 |
|
Найти стороны треугольника
в форуме Геометрия |
8 |
390 |
09 янв 2023, 01:48 |
|
Найти стороны треугольника
в форуме Геометрия |
5 |
491 |
21 июл 2014, 11:57 |
|
Найти длину стороны треугольника
в форуме Геометрия |
1 |
306 |
25 мар 2015, 11:41 |
|
Найти уравнение третьей стороны треугольника. | 1 |
527 |
08 ноя 2015, 23:21 |
|
Найти уравнение третьей стороны треугольника | 4 |
299 |
18 ноя 2018, 11:10 |
|
Решение треугольников . Найти длину стороны треугольника
в форуме Геометрия |
26 |
678 |
09 фев 2021, 22:18 |
|
Найти уравнение боковой стороны равнобедренного треугольника | 2 |
907 |
30 окт 2016, 15:50 |
|
Стороны треугольника | 4 |
692 |
14 ноя 2016, 18:58 |
|
Стороны треугольника | 4 |
600 |
06 июн 2016, 19:06 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |