Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 16 июл 2017, 03:49 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 окт 2015, 13:00
Сообщений: 84
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача из ЗФТШ МФТИ 2013 для 9 класса:
Изображение

Мой рисунок:
Изображение
По свойству биссектрисы [math]BD[/math] : [math]\frac{ DC }{ BC } = \frac{ AD }{ AB }[/math]

[math]\,[/math]
[math]\Rightarrow \frac{ BC }{ AB } = \frac{ 2 }{ 1 }[/math]

Не вижу, что дальше можно сделать. Подскажите пожалуйста

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 16 июл 2017, 18:44 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 00:16
Сообщений: 206
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
76 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для треугольника ABK расписать углы. По условиям, угол при вершине К в 2 раза меньше, чем при вершине А (и половины углов тоже, разумеется). Получаем, что треугольник ABK - равнобедренный. Так что длина стороны AB равна двум единицам.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 16 июл 2017, 19:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Неверная гипотеза - прямая [math]KD[/math] не является биссектрисой угла [math]\angle AKC[/math], поэтому угол [math]\angle AKB[/math] не равен половине угла [math]\angle ABD[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Xmas
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 16 июл 2017, 20:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если решать маткадом, то как вариант:
1. Находим площадь АВС по герону и через синус угла между АВ и БС.
2. Через теорему косинусов определяем КА и КС, после чего приравниваем площадь АКС и АКБ+КБС+АВС
Получаем систему уравнений с 2 неизвестными х и альфа.
Но вот вручную решить, таким способом, будет сложновато.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 16 июл 2017, 22:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача решается быстро, если установить, что треугольник [math]ABD[/math] - равнобедренный ([math]AB=BD=x[/math]). Тогда по формуле для квадрата биссектрисы [math]BD^2=AB \cdot BC-AD \cdot DC= 2x^2-2[/math] сразу получаем [math]AB=x=\sqrt{2},BC=2x=2\sqrt{2}[/math] и [math]cos \angle ABC=\frac{ 1 }{ 8 }[/math]. Но доказать равнобедренность треугольника [math]ABD[/math] довольно непросто!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Flutt1, Race
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 17 июл 2017, 09:47 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так, на трезвую голову задача оказалась совсем не сложной.
Изображение
1. Так как [math]BD[/math] биссектриса, то обозначим [math]AB[/math] как [math]x[/math], а [math]BC[/math] как [math]2x[/math].
2. Опишем окружность вокруг [math]AKC[/math].
3. Продолжим стороны треугольника [math]AB[/math] и [math]BC[/math] до пересечения с окружностью в точках [math]C1[/math] и [math]A1[/math], продолжим биссектрису [math]BD[/math] до её пересечения с окружностью в точке [math]K1[/math].
4. Обозначим угол [math]ABC[/math] как [math]2α[/math] , тогда соответственно угол [math]AKC[/math] равен [math]α[/math]
5. [math]∠ABC=\frac{ ∩AC+∩C1A1 }{ 2 }[/math] но [math]∠ABC=∩AC=2α \Rightarrow ∩C1A1=∩AC=2α[/math]
6. [math]AC=A1C1 \Rightarrow AA1 \parallel CC1 \Rightarrow ACC1A1[/math] равнобочная трапеция, а это значит что [math]AC1=A1C[/math], так как они являются диагоналями равнобочной трапеции, соответственно [math]CB=BC1=2x[/math], а [math]AB=BA1=x[/math]
7. В принципе в равнобочной трапеции биссектриса угла между диагоналями параллельна основаниям, насколько я знаю это общеизвестный факт. Доказать можно через подобие треугольников [math]A1D1B \sim ABD[/math] или [math]D1C1B \sim BCD[/math], но так как соответствующие стороны (к примеру [math]A1B=BA[/math]), то треугольники конгруэнтны, из чего следует, что в силу симметрии [math]KK1 \parallel A1A \parallel C1C[/math], либо через перпендикулярность [math]DD1[/math] высоте трапеции, если данную высоту провести через пересечение диагоналей, то опять же в силу симметрии, данная высота будет второй биссектрисой делящий смежный с [math]ABC[/math] угол.
8. В силу той же симметрии [math]KB=BK1=2[/math] (при необходимости так же можно доказать через подобие треугольников)
9. Так как [math]A1C[/math] и [math]KK1[/math] являются хордами окружности, пересекающимися в точке [math]B[/math], то [math]A1B \cdot BC=KB \cdot BK1 \Rightarrow 2x^{2}=4 \Rightarrow AB=x=\sqrt{2}[/math], а [math]BC=2AB=2\sqrt{2}[/math]
10. значение косинуса [math]∠ABC[/math] определим через теорему косинусов:
[math]cos∠ABC=\frac{ AB^{2}+BC^{2}-CA^{2} }{ 2AB \cdot BC }=\frac{ 3 }{ 8 }[/math]


Произвел построение используя косинус угла и заданные длины отрезков. Построение не вышло. В тоже самое время не могу найти ошибку в расчетах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
chebo, Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 17 июл 2017, 10:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нашел опечатку, косинус угла совершенно правильно посчитан у michel
10. значение косинуса [math]∠ABC[/math] определим через теорему косинусов:
[math]cos∠ABC=\frac{ AB^{2}+BC^{2}-CA^{2} }{ 2AB \cdot BC }=\frac{ 1 }{ 8 }[/math]

Вот так наш треугольник будет выглядеть в натуре)
Изображение

Предложенный метод подходит для произвольно заданных значений [math]AD[/math], [math]DC[/math] и [math]BK[/math], необходимым условием будет являться отношение углов [math]ABC[/math]и [math]AKB[/math] как [math]2[/math] к [math]1[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Flutt1, michel
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 17 июл 2017, 12:01 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Меня смущает то, что при решении максимальная степень полиномов была не выше 2, а это в свою очередь показывает что данная задача должна иметь геометрическое решение при помощи циркуля и линейки, но с какой стороны подступиться, я ума не приложу :%)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 17 июл 2017, 17:13 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 19:51
Сообщений: 508
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
117 раз в 101 сообщениях
Очков репутации: 23

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А меня смущает вот этот пункт в решении:
Race писал(а):
5. ∠ABC=(∩AC+∩C1A1)/2 но ∠ABC=∩AC=2α⇒∩C1A1=∩AC=2α

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 17 июл 2017, 17:20 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo,
угол [math]AKC[/math] вписанный, а это значит что он опирается на дугу равную удвоенному значению угла [math]∩AC=2∠AKB=2α=∠ABC[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 24 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти стороны треугольника

в форуме Алгебра

ulukma

2

485

22 июл 2014, 11:47

Найти стороны треугольника

в форуме Геометрия

bas

8

390

09 янв 2023, 01:48

Найти стороны треугольника

в форуме Геометрия

ulukma

5

491

21 июл 2014, 11:57

Найти длину стороны треугольника

в форуме Геометрия

Alex7779

1

306

25 мар 2015, 11:41

Найти уравнение третьей стороны треугольника.

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Alexander0205

1

527

08 ноя 2015, 23:21

Найти уравнение третьей стороны треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Constructor

4

299

18 ноя 2018, 11:10

Решение треугольников . Найти длину стороны треугольника

в форуме Геометрия

gruzik

26

678

09 фев 2021, 22:18

Найти уравнение боковой стороны равнобедренного треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

AlexeyGlad

2

907

30 окт 2016, 15:50

Стороны треугольника

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Utkonos

4

692

14 ноя 2016, 18:58

Стороны треугольника

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Utkonos

4

600

06 июн 2016, 19:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved