Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 16 июл 2017, 04:49 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
14 окт 2015, 14:00
Сообщений: 81
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача из ЗФТШ МФТИ 2013 для 9 класса:
Изображение

Мой рисунок:
Изображение
По свойству биссектрисы [math]BD[/math] : [math]\frac{ DC }{ BC } = \frac{ AD }{ AB }[/math]

[math]\,[/math]
[math]\Rightarrow \frac{ BC }{ AB } = \frac{ 2 }{ 1 }[/math]

Не вижу, что дальше можно сделать. Подскажите пожалуйста

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 16 июл 2017, 19:44 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 01:16
Сообщений: 149
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
46 раз в 41 сообщениях
Очков репутации: 11

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для треугольника ABK расписать углы. По условиям, угол при вершине К в 2 раза меньше, чем при вершине А (и половины углов тоже, разумеется). Получаем, что треугольник ABK - равнобедренный. Так что длина стороны AB равна двум единицам.

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 16 июл 2017, 20:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Неверная гипотеза - прямая [math]KD[/math] не является биссектрисой угла [math]\angle AKC[/math], поэтому угол [math]\angle AKB[/math] не равен половине угла [math]\angle ABD[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Xmas
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 16 июл 2017, 21:52 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 986
Cпасибо сказано: 176
Спасибо получено:
157 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если решать маткадом, то как вариант:
1. Находим площадь АВС по герону и через синус угла между АВ и БС.
2. Через теорему косинусов определяем КА и КС, после чего приравниваем площадь АКС и АКБ+КБС+АВС
Получаем систему уравнений с 2 неизвестными х и альфа.
Но вот вручную решить, таким способом, будет сложновато.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 16 июл 2017, 23:34 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача решается быстро, если установить, что треугольник [math]ABD[/math] - равнобедренный ([math]AB=BD=x[/math]). Тогда по формуле для квадрата биссектрисы [math]BD^2=AB \cdot BC-AD \cdot DC= 2x^2-2[/math] сразу получаем [math]AB=x=\sqrt{2},BC=2x=2\sqrt{2}[/math] и [math]cos \angle ABC=\frac{ 1 }{ 8 }[/math]. Но доказать равнобедренность треугольника [math]ABD[/math] довольно непросто!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Flutt1, Race
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 17 июл 2017, 10:47 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 986
Cпасибо сказано: 176
Спасибо получено:
157 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так, на трезвую голову задача оказалась совсем не сложной.
Изображение
1. Так как [math]BD[/math] биссектриса, то обозначим [math]AB[/math] как [math]x[/math], а [math]BC[/math] как [math]2x[/math].
2. Опишем окружность вокруг [math]AKC[/math].
3. Продолжим стороны треугольника [math]AB[/math] и [math]BC[/math] до пересечения с окружностью в точках [math]C1[/math] и [math]A1[/math], продолжим биссектрису [math]BD[/math] до её пересечения с окружностью в точке [math]K1[/math].
4. Обозначим угол [math]ABC[/math] как [math]2α[/math] , тогда соответственно угол [math]AKC[/math] равен [math]α[/math]
5. [math]∠ABC=\frac{ ∩AC+∩C1A1 }{ 2 }[/math] но [math]∠ABC=∩AC=2α \Rightarrow ∩C1A1=∩AC=2α[/math]
6. [math]AC=A1C1 \Rightarrow AA1 \parallel CC1 \Rightarrow ACC1A1[/math] равнобочная трапеция, а это значит что [math]AC1=A1C[/math], так как они являются диагоналями равнобочной трапеции, соответственно [math]CB=BC1=2x[/math], а [math]AB=BA1=x[/math]
7. В принципе в равнобочной трапеции биссектриса угла между диагоналями параллельна основаниям, насколько я знаю это общеизвестный факт. Доказать можно через подобие треугольников [math]A1D1B \sim ABD[/math] или [math]D1C1B \sim BCD[/math], но так как соответствующие стороны (к примеру [math]A1B=BA[/math]), то треугольники конгруэнтны, из чего следует, что в силу симметрии [math]KK1 \parallel A1A \parallel C1C[/math], либо через перпендикулярность [math]DD1[/math] высоте трапеции, если данную высоту провести через пересечение диагоналей, то опять же в силу симметрии, данная высота будет второй биссектрисой делящий смежный с [math]ABC[/math] угол.
8. В силу той же симметрии [math]KB=BK1=2[/math] (при необходимости так же можно доказать через подобие треугольников)
9. Так как [math]A1C[/math] и [math]KK1[/math] являются хордами окружности, пересекающимися в точке [math]B[/math], то [math]A1B \cdot BC=KB \cdot BK1 \Rightarrow 2x^{2}=4 \Rightarrow AB=x=\sqrt{2}[/math], а [math]BC=2AB=2\sqrt{2}[/math]
10. значение косинуса [math]∠ABC[/math] определим через теорему косинусов:
[math]cos∠ABC=\frac{ AB^{2}+BC^{2}-CA^{2} }{ 2AB \cdot BC }=\frac{ 3 }{ 8 }[/math]


Произвел построение используя косинус угла и заданные длины отрезков. Построение не вышло. В тоже самое время не могу найти ошибку в расчетах.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
chebo, Flutt1
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 17 июл 2017, 11:59 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 986
Cпасибо сказано: 176
Спасибо получено:
157 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нашел опечатку, косинус угла совершенно правильно посчитан у michel
10. значение косинуса [math]∠ABC[/math] определим через теорему косинусов:
[math]cos∠ABC=\frac{ AB^{2}+BC^{2}-CA^{2} }{ 2AB \cdot BC }=\frac{ 1 }{ 8 }[/math]

Вот так наш треугольник будет выглядеть в натуре)
Изображение

Предложенный метод подходит для произвольно заданных значений [math]AD[/math], [math]DC[/math] и [math]BK[/math], необходимым условием будет являться отношение углов [math]ABC[/math]и [math]AKB[/math] как [math]2[/math] к [math]1[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
Flutt1, michel
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 17 июл 2017, 13:01 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 986
Cпасибо сказано: 176
Спасибо получено:
157 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Меня смущает то, что при решении максимальная степень полиномов была не выше 2, а это в свою очередь показывает что данная задача должна иметь геометрическое решение при помощи циркуля и линейки, но с какой стороны подступиться, я ума не приложу :%)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 17 июл 2017, 18:13 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 20:51
Сообщений: 112
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
18 раз в 18 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А меня смущает вот этот пункт в решении:
Race писал(а):
5. ∠ABC=(∩AC+∩C1A1)/2 но ∠ABC=∩AC=2α⇒∩C1A1=∩AC=2α

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти стороны треугольника
СообщениеДобавлено: 17 июл 2017, 18:20 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 986
Cпасибо сказано: 176
Спасибо получено:
157 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo,
угол [math]AKC[/math] вписанный, а это значит что он опирается на дугу равную удвоенному значению угла [math]∩AC=2∠AKB=2α=∠ABC[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти стороны треугольника

в форуме Геометрия

ulukma

5

284

21 июл 2014, 12:57

Найти стороны треугольника

в форуме Алгебра

ulukma

2

155

22 июл 2014, 12:47

Найти длину стороны треугольника

в форуме Геометрия

symanteck

13

671

13 авг 2013, 13:53

Найти длину стороны треугольника

в форуме Геометрия

Alex7779

1

145

25 мар 2015, 12:41

Найти стороны описанного треугольника

в форуме Геометрия

Baz

8

358

05 окт 2012, 18:21

Найти уравнение третьей стороны треугольника.

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Alexander0205

1

230

09 ноя 2015, 00:21

Найти стороны треугольника по сумме и отношению отрезков.

в форуме Геометрия

Ladvest

1

560

07 фев 2012, 16:54

Найти уравнение боковой стороны равнобедренного треугольника

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

AlexeyGlad

2

133

30 окт 2016, 16:50

Найти длину стороны правильного треугольника, вписанного в э

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

MARGARITA1987

1

347

16 янв 2014, 22:01

Даны уравнения средних линий треугольника.Найти стороны тр-к

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

endless_summer

3

255

14 янв 2012, 19:41


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved