Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача на вписанную окружность
СообщениеДобавлено: 30 июн 2017, 11:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1044
Cпасибо сказано: 186
Спасибо получено:
173 раз в 161 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В произвольный треугольника АВС вписали окружность.
Пусть точки M, N - точки касания окружности с сторонами АВ и АС.
На стороне АС, как на диаметре, построили окружность, прямая MN пересекает построенную окружность в точках K и L.

Найти угловое значение дуги KL, если известно что угол А равняется α.
Некропостинг, лето, задач мало)
Встретил эту задачу в старых, до конца так и не была решена) второй раз найти не смог.
Может кому будет интересно.
Решается чисто геометрически.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на вписанную окружность
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 00:45 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 20:51
Сообщений: 112
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
18 раз в 18 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что-то мне кажется, задача не вполне корректная. При одном и том же угле [math]\alpha[/math] угловое значение дуги [math]KL[/math] может быть самым разным:
https://ggbm.at/CW7WPSkc
Подвигайте вершину [math]A[/math], она будет скользить по описанной окружности (зеленая) треугольника (значит величина угла [math]\alpha[/math] не меняется), при этом угловое значение дуги [math]KL[/math] изменяется весьма существенно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю chebo "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Задача на вписанную окружность
СообщениеДобавлено: 01 июл 2017, 09:44 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1044
Cпасибо сказано: 186
Спасибо получено:
173 раз в 161 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Chebo,
Виноват... На ВС как на диаметре.
Опечатался.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на вписанную окружность
СообщениеДобавлено: 02 июл 2017, 17:00 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 20:51
Сообщений: 112
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
18 раз в 18 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тогда угловое значение дуги KL тоже будет [math]\alpha[/math].
Можно доказать воспользовавшись леммой о проекции вершины на биссектрису. А затем получаются две средние линии и в итоге - параллелограм с противоположными углами - [math]\alpha[/math] и искомым.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на вписанную окружность
СообщениеДобавлено: 02 июл 2017, 20:48 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 15:03
Сообщений: 665
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
262 раз в 211 сообщениях
Очков репутации: 97

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo писал(а):
Тогда угловое значение дуги KL тоже будет [math]\alpha[/math].
Можно доказать воспользовавшись леммой о проекции вершины на биссектрису. А затем получаются две средние линии и в итоге - параллелограм с противоположными углами - [math]\alpha[/math] и искомым.


chebo,
скиньте, пожалуйста, ссылочку на эту волшебную Лемму... совершенно ничего о ней не помню :blush:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на вписанную окружность
СообщениеДобавлено: 02 июл 2017, 22:56 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 20:51
Сообщений: 112
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
18 раз в 18 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dotsent писал(а):
скиньте, пожалуйста, ссылочку на эту волшебную Лемму... совершенно ничего о ней не помню :blush:

Хм... найти ссылочку на эту лемму оказалось потруднее, чем решить саму задачу :) .
Честно говоря, я про нее и сам только сегодня впервые услышал. От сына, которому я эту задачку подсунул.
Лемма звучит так (ссылку в интернете, что удивительно, я так и не нашел), в обозначениях условия задачи:
Проекция вершины С на биссектрису угла В лежит на прямой MN (и, соответственно т.к. угол прямой, на окружности, построенной как на диаметре на основании ВС).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на вписанную окружность
СообщениеДобавлено: 02 июл 2017, 23:34 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 дек 2013, 15:03
Сообщений: 665
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 81
Спасибо получено:
262 раз в 211 сообщениях
Очков репутации: 97

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
chebo писал(а):
Dotsent писал(а):
скиньте, пожалуйста, ссылочку на эту волшебную Лемму... совершенно ничего о ней не помню :blush:

Хм... найти ссылочку на эту лемму оказалось потруднее, чем решить саму задачу :) .
Честно говоря, я про нее и сам только сегодня впервые услышал. От сына, которому я эту задачку подсунул.
Лемма звучит так (ссылку в интернете, что удивительно, я так и не нашел), в обозначениях условия задачи:
Проекция вершины С на биссектрису угла В лежит на прямой MN (и, соответственно т.к. угол прямой, на окружности, построенной как на диаметре на основании ВС).

Спасибо, chebo!
В сущности, эта Лемма и есть решение данной задачи... Осталось только её как-то доказать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на вписанную окружность
СообщениеДобавлено: 03 июл 2017, 00:49 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 17:15
Сообщений: 1044
Cпасибо сказано: 186
Спасибо получено:
173 раз в 161 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я решал через подобие треугольников.
Получается чисто геометрическое решение.

Причем результат подходит как для тупого, так для острого, так и для прямого угла.
Все 3 из возможных вариантов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на вписанную окружность
СообщениеДобавлено: 03 июл 2017, 00:58 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 20:51
Сообщений: 112
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
18 раз в 18 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dotsent писал(а):
В сущности, эта Лемма и есть решение данной задачи... Осталось только её как-то доказать.

Доказывается так. Проводится биссектриса угла В до пересечения с окружностью, построенной на основании ВС. Получается точка L'. Далее показываем, что эта точка L' совпадает с нашей точкой L (а значит и лежит на прямой MN) следующим образом. Вершину С отражаем через биссектрису угла В, получаем точку B' и равнобедренный тр-к BB'C. Дальше через ряд вписанных углов и вписанных четырехугольников получаем нужный результат. Фактически эта лемма получается как следствие в процессе такого решения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача на вписанную окружность
СообщениеДобавлено: 03 июл 2017, 01:02 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
29 мар 2016, 20:51
Сообщений: 112
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
18 раз в 18 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Race, спасибо, интересная задача!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
задача на вписанную окружность

в форуме Геометрия

KoRtnI

2

238

15 май 2012, 20:46

Задача по теме: вписанная и описанная окружность

в форуме Геометрия

sashadahl

4

394

18 май 2015, 21:45

Окружность

в форуме Геометрия

Messi

2

1406

09 май 2012, 12:43

Окружность

в форуме Геометрия

kicultanya

3

95

28 окт 2016, 16:52

Окружность

в форуме Палата №6

Vadim Shlovikov

29

2290

09 окт 2012, 15:53

Окружность

в форуме Геометрия

sfanter

1

156

05 апр 2015, 23:17

Окружность

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Irinackaa

3

101

18 июн 2017, 15:57

Окружность

в форуме Геометрия

Kristinadefa

2

181

09 сен 2015, 17:33

Окружность

в форуме Тригонометрия

crazyjkee

1

316

25 май 2014, 18:59

Окружность

в форуме MathCad

JuliaFrolova

0

402

01 дек 2013, 19:46


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved