| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Задача про триугольник http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=54938 |
Страница 2 из 2 |
| Автор: | Race [ 13 июн 2017, 10:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про триугольник |
О. если нигде не ошибся, то через равенство синусов суммы альфы и беты синусу гаммы, получил интересное тождество: [math](b+c)^{2}(a+b)^{2}+(a+b)^{2}(a+c)^{2}-8abc(a+b+c)=(a+b)^{3}[/math] Как то мне страшно возводить в степень) а то снова все сократится)))) |
|
| Автор: | asdilia [ 13 июн 2017, 11:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про триугольник |
Можно составить тогда с a = 1; b= 7 c=100? |
|
| Автор: | Race [ 13 июн 2017, 11:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про триугольник |
не вижу проблемы, тогда если принять стороны треугольника за АВС, то будем иметь треугольник с сторонами (по часовой стрелке): A=a+b=8 B=b+c=107 C=c+a=101 Выполняется главное неравенство треугольника, сумма двух любых сторон больше третьей стороны, а значит треугольник возможно построить. A+C>B |
|
| Автор: | Race [ 13 июн 2017, 11:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про триугольник |
По здравым размышлениям соглашусь с michel, a, b , c могут быть абсолютно любыми, в любом случае можно построить треугольник в котором HFE будут принадлежать соответствующим сторонам. Скорее всего, именно по этому и вырождаются все мои тождества. С другой стороны HF, FE, EH будут хордами вписанной окружности радиуса r, и именно на них можно (теоретически) наложить ограничение, вычислив их через a, b, c. PS Произвел натурное построение. Для любых a, b,c возможно построить треугольник и только 1. Если вместо с, задать угол между А и В, то тогда c тоже будет только одно, соответственно треугольник так же будет только 1. |
|
| Автор: | Race [ 13 июн 2017, 12:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про триугольник |
Посчитал хорды HE, EF, FH [math]HE=\frac{ 2ar }{ \sqrt{r^{2}+a^{2} } }[/math] [math]EF=\frac{ 2br }{ \sqrt{r^{2}+b^{2} } }[/math] [math]FH=\frac{ 2cr }{ \sqrt{r^{2}+c^{2} } }[/math] Причем если углы при вершинах АВС α, β, γ , то углы при вершина HEF будут соответственн: [math]∠H=\frac{ α+ β }{ 2}[/math] [math]∠F=\frac{ β+ γ }{ 2}[/math] [math]∠F=\frac{γ+α}{ 2}[/math] Кстати, углы при вершинах АВС можно вычислить не вычисляя высот: [math]sinα=\frac{ ar }{ \sqrt{r^{2}+a^{2} } }[/math] [math]sinβ=\frac{ br }{ \sqrt{r^{2}+b^{2} } }[/math] [math]sinγ=\frac{ cr }{ \sqrt{r^{2}+c^{2} } }[/math] Тогда теорема синусов примет вид: [math]\frac{ (b+c) \sqrt{r^{2}+a^{2} } }{ a }=\frac{ (c+a) \sqrt{r^{2}+b^{2} } }{ b }=\frac{ (a+b) \sqrt{r^{2}+c^{2} } }{ c }=2Rr[/math] где [math]r=\sqrt{\frac{ abc }{a+b+c } }[/math] И теперь пусть преподаватель Вам доказывает что полученное тождество выродится
|
|
| Автор: | Booker48 [ 13 июн 2017, 13:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про триугольник |
Race Проблема, думаю, не в a, b и c. С любыми положительными треугольник существует, поэтому у вас получаются тождества. Думаю, изначально заданы 3 треугольника, всё будет зависеть от их углов напротив основания. Они должны быть заданы в условии, по ним и боковым сторонам нужно сделать вывод, возможно ли сложить большой треугольник. И недостаточно даже равенство суммы углов [math]\pi[/math], нужно, чтобы теорема синусов выполнялась. |
|
| Автор: | Race [ 13 июн 2017, 13:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про триугольник |
В последнем сообщении я и привел к такой теореме синусов, выраженной через a, b, c, в такой форме, даже если тождество вырождается, это еще нужно доказать)))) |
|
| Страница 2 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|