Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача про триугольник
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=54938
Страница 2 из 2

Автор:  Race [ 13 июн 2017, 10:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про триугольник

О. если нигде не ошибся, то через равенство синусов суммы альфы и беты синусу гаммы, получил интересное тождество:

[math](b+c)^{2}(a+b)^{2}+(a+b)^{2}(a+c)^{2}-8abc(a+b+c)=(a+b)^{3}[/math]

Как то мне страшно возводить в степень) а то снова все сократится))))

Автор:  asdilia [ 13 июн 2017, 11:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про триугольник

Можно составить тогда с a = 1; b= 7 c=100?

Автор:  Race [ 13 июн 2017, 11:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про триугольник

не вижу проблемы, тогда если принять стороны треугольника за АВС, то будем иметь треугольник с сторонами (по часовой стрелке):
A=a+b=8
B=b+c=107
C=c+a=101
Выполняется главное неравенство треугольника, сумма двух любых сторон больше третьей стороны, а значит треугольник возможно построить.
A+C>B

Автор:  Race [ 13 июн 2017, 11:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про триугольник

По здравым размышлениям соглашусь с michel, a, b , c могут быть абсолютно любыми, в любом случае можно построить треугольник в котором HFE будут принадлежать соответствующим сторонам.
Скорее всего, именно по этому и вырождаются все мои тождества.
С другой стороны HF, FE, EH будут хордами вписанной окружности радиуса r, и именно на них можно (теоретически) наложить ограничение, вычислив их через a, b, c.

Изображение
PS Произвел натурное построение. Для любых a, b,c возможно построить треугольник и только 1.
Если вместо с, задать угол между А и В, то тогда c тоже будет только одно, соответственно треугольник так же будет только 1.

Автор:  Race [ 13 июн 2017, 12:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про триугольник

Посчитал хорды HE, EF, FH
[math]HE=\frac{ 2ar }{ \sqrt{r^{2}+a^{2} } }[/math]
[math]EF=\frac{ 2br }{ \sqrt{r^{2}+b^{2} } }[/math]
[math]FH=\frac{ 2cr }{ \sqrt{r^{2}+c^{2} } }[/math]
Причем если углы при вершинах АВС α, β, γ , то углы при вершина HEF будут соответственн:
[math]∠H=\frac{ α+ β }{ 2}[/math]

[math]∠F=\frac{ β+ γ }{ 2}[/math]

[math]∠F=\frac{γ+α}{ 2}[/math]

Кстати, углы при вершинах АВС можно вычислить не вычисляя высот:
[math]sinα=\frac{ ar }{ \sqrt{r^{2}+a^{2} } }[/math]
[math]sinβ=\frac{ br }{ \sqrt{r^{2}+b^{2} } }[/math]
[math]sinγ=\frac{ cr }{ \sqrt{r^{2}+c^{2} } }[/math]
Тогда теорема синусов примет вид:
[math]\frac{ (b+c) \sqrt{r^{2}+a^{2} } }{ a }=\frac{ (c+a) \sqrt{r^{2}+b^{2} } }{ b }=\frac{ (a+b) \sqrt{r^{2}+c^{2} } }{ c }=2Rr[/math]
где [math]r=\sqrt{\frac{ abc }{a+b+c } }[/math]
И теперь пусть преподаватель Вам доказывает что полученное тождество выродится :crazy:

Автор:  Booker48 [ 13 июн 2017, 13:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про триугольник

Race
Проблема, думаю, не в a, b и c. С любыми положительными треугольник существует, поэтому у вас получаются тождества. Думаю, изначально заданы 3 треугольника, всё будет зависеть от их углов напротив основания. Они должны быть заданы в условии, по ним и боковым сторонам нужно сделать вывод, возможно ли сложить большой треугольник. И недостаточно даже равенство суммы углов [math]\pi[/math], нужно, чтобы теорема синусов выполнялась.

Автор:  Race [ 13 июн 2017, 13:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про триугольник

В последнем сообщении я и привел к такой теореме синусов, выраженной через a, b, c, в такой форме, даже если тождество вырождается, это еще нужно доказать))))

Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/