Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=54877
Страница 1 из 1

Автор:  nuikina [ 09 июн 2017, 00:19 ]
Заголовок сообщения:  Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые

Очень нужна помощь, необходимо решит задачу: Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ=15 см, PP1=21,5 см, QQ1=33,5 см. Одним способ решена:
Про­ве­дем пря­мую РА пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой QQ1.От­рез­ки РА и P1Q1 равны. От­ре­зок Q1A равен от­рез­ку РР1. Най­дем QA: QA = QQ1 - АQ1 = QQ1 - РР1 = 33,5 - 21,5 = 12 см. Рас­смот­рим тре­уголь­ник АРQ. Он пря­мо­уголь­ный, так как угол QАР пря­мой. Най­дем катет РА из прямоугольного треугольника, получим P1Q1 = РА = 9 см.

Но нужно решить еще одним способом. Подскажите, пожалуйста, с чего начать? Никак не соображу. Заранее спасибо!

Автор:  Booker48 [ 09 июн 2017, 01:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые

Продлить прямую PQ до пересечения с прямой P1Q1 и решить подобные треугольники.

Автор:  Race [ 09 июн 2017, 08:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые

Трапеция возможна только одна, так как она элементарно строится.
Так сказать, еще одно решение геометрическим построением.
1. Строим горизонтальную прямую а.
2. Отмечаем на ней произвольные точки P1 и Q1'.
3. Из P1 строим ортогональную прямую P1P, откладываем на ней отрезок Р1Р.
4. Из Q1' строим ортогональную прямую Q1'Q', откладываем на ней отрезок Q1'Q'=Q1Q.
5. Из Q' строим прямую b параллельную а.
6. Из Р строим окружность w радиусом равным PQ.
7. Точка пересечения окружности w с прямой b, будет точкой Q (понятное дело что их будет 2, но полученные трапеции равновеликие и обе удовлетворяют условию).
8. Из т. Q опускаем перпендикуляр на a, основание перпендикуляра - т. Q1.

Автор:  Race [ 09 июн 2017, 08:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые

А так, даже если идти через подобие треугольников, либо гармоническую линию трапеции, рано или поздно упираешься в Пифагора, возникает вопрос - можно ли это считать другим способом решения, если предложенный Вами метод наиболее очевиден.

Автор:  Race [ 09 июн 2017, 09:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые

Можно пойти через синусы и косинусы) Но по сути это тот же Пифагор что и у вас.
1. [math]α[/math] - угол между [math]PQ[/math] и [math]P_{1}Q_{1}[/math].
2. [math]sinα=\frac{ QQ_{1}-PP_{1} }{ PQ }[/math] (1)
3. [math]cosα=\frac{ P_{1}Q_{1} }{ PQ }=\sqrt{1-sin^{2} α} =\sqrt{1-\frac{ (QQ_{1}-PP_{1})^{2} }{ PQ^{2} } }[/math] (2)
4. Из (2) [math]P_{1}Q_{1}=PQ\sqrt{1-\frac{ (QQ_{1}-PP_{1})^{2} }{ PQ^{2} } }[/math]
Выглядим немного по другому, но по сути решение аналогично Вашему.
Так как теорема Пифагора эквивалентна основному тригонометрическому тождеству [math]sin^{2} α+cos^{2}α=1[/math].

Автор:  Race [ 09 июн 2017, 13:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые

По здравым размышлениям полностью такие же ответы можно получить применив теорему синусов, либо косинусов.
:crazy: Но все это будут вариации основного решения, через теорему Пифагора.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/