Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Vitola |
|
|
|
|
|
Вернуться к началу | ||
Race |
|
|
Производим построение, обозначаем точки. Для упрощения восприятия картинка приближена, т. В где то там сверху.
1. В силу симметрии построения хорды [math]NM[/math] и [math]MG[/math] равны между собой, а значит и вписанные в окружность [math]S[/math] углы [math]∠NKM[/math] и [math]∠MKG[/math] так же равны. Обозначим их как [math]α[/math]. 2. В силу симметрии построения углы [math]∠EAC[/math] и [math]∠MCE[/math] так же равны. Обозначим их как [math]β[/math]. 3. [math]∠AEK=2β[/math] как внешний угол при вершине равнобедренного треугольника с углом при основании равным [math]β[/math]. 4. Из треугольника [math]KFE[/math] следует [math]∠KFE=∠AFM=180-2β-α[/math]. 5. Из треугольника [math]AFM[/math] следует[math]∠AMK=180-(180-2β-α)-β=α+β[/math]. 6. Треугольник [math]AKM[/math] равнобедренный ([math]AK=AM \Rightarrow ∠AMK=∠AKM=∠AKD+∠DKM \Rightarrow ∠AKD=∠AMK-∠DKM=α+β-α=β[/math]. 7. Треугольники [math]AKC[/math] и [math]AKD[/math] подобны, так как имеют один общий угол [math]∠KAD[/math] и [math]∠AKD=∠KCA=β[/math]. 8. [math]\frac{ AC }{ KA }=\frac{ KA }{ AD }[/math], но [math]AC=2KA[/math], а значит [math]\frac{2KA }{ KA }=\frac{ KA }{ AD } \Rightarrow KA=AM=2AD[/math]. Что и требовалось доказать. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали: michel |
||
michel |
|
|
Красивое геометрическое решение задачи без тригонометрии, без алгебры только через подобие!
Ключевое равенство углов можно было установить немножко побыстрее: [math]\angle AKD= \angle KMN= \angle KLA= \angle LAC= \beta[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: Race |
||
Race |
|
|
michel, я крутил и так и так, равенство углов, благодаря автокаду определилось быстро, но более простого именно геометрического доказательства не нашел.
Там всего 3 подобных треугольника с углами 2a+b, и еще 3 подобных треугольника с a+b) само по себе построение интересно) А просто углов a и b там целый океан) |
||
Вернуться к началу | ||
Race |
|
|
Еще одно решение можно получить следующим образом.
1. Строим произвольный равнобедренный треугольник АВС. 2. Из вершины В опускаем на основание высоту ВМ. 3. Так как треугольник равнобедренный, но АМ=МС=а, строим точку К на АВ и L на ВС, таким образом что АК=LC=a. 4. На отрезке АМ строим точку Е, таким образом что АЕ=ЕМ, так как 2ЕМ=МС, то ЕС медиана некоего треугольника. Половина треугольника у нас уже есть, это ЕКС. 5. Достраиваем вторую половину треугольника, получаем треугольника KCF, с медианой ЕС и точкой пересечения медиан М. 6. Доказываем что треугольник KFC равнобедренный, с основанием FC, а значит медиана опущенная из вершины K так же является биссектрисой треугольника и углы ЕКМ и МКС равны между собой (тут пришлось использовать теорему косинусов, так как это очевидно, имеем 2 треугольника КАЕ и КАС, у который один угол общий, обозначим альфа, а все стороны выражаются через а. 7 Вписываем окружность, как в предыдущем решении доказываем что углы DKM=MKC, но так как DKM=EKM, то КЕ совпадает с KD, чтд. При таком решении становится понятным обозначение т. М. Как центра пересечения медиан. Решение получено не мной, но мне понравилось, так как выполнено через не очевидное достроение и использованы свойства чудесных линий треугольника. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Окружность вписанная в треугольник
в форуме Геометрия |
1 |
172 |
02 фев 2020, 20:24 |
|
Треугольник, вписанная окружность и прямая
в форуме Геометрия |
3 |
172 |
27 янв 2020, 22:50 |
|
Вписанная окружность
в форуме Геометрия |
2 |
529 |
28 сен 2015, 16:29 |
|
Вписанная окружность
в форуме Геометрия |
2 |
303 |
01 фев 2022, 14:57 |
|
Вписанная окружность
в форуме Геометрия |
1 |
684 |
09 сен 2015, 16:47 |
|
Вписанная окружность
в форуме Геометрия |
2 |
196 |
28 ноя 2018, 20:16 |
|
Окружность,вписанная в квадрат
в форуме Геометрия |
1 |
856 |
24 сен 2015, 14:58 |
|
Трапеция и вписанная окружность
в форуме Геометрия |
3 |
1015 |
11 май 2017, 16:22 |
|
Окружность, вписанная в трапецию
в форуме Геометрия |
8 |
517 |
01 ноя 2016, 21:39 |
|
Задача по теме: вписанная и описанная окружность
в форуме Геометрия |
4 |
1091 |
18 май 2015, 20:45 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: ferma-T и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |