Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Равнобедпенный треугольник и вписанная окружность
СообщениеДобавлено: 11 май 2017, 16:23 
Окружность S, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается боковых сторон AB и BC в точках K и L соответственно, и касается основания АС в точке М. Отрезок AL пересекает окружность S в точке N. Докажите, что прямая KN проходит через середину отрезка AM.

Вернуться к началу
  
 
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедпенный треугольник и вписанная окружность
СообщениеДобавлено: 12 май 2017, 10:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Производим построение, обозначаем точки. Для упрощения восприятия картинка приближена, т. В где то там сверху.
Изображение
1. В силу симметрии построения хорды [math]NM[/math] и [math]MG[/math] равны между собой, а значит и вписанные в окружность [math]S[/math] углы [math]∠NKM[/math] и [math]∠MKG[/math] так же равны. Обозначим их как [math]α[/math].
2. В силу симметрии построения углы [math]∠EAC[/math] и [math]∠MCE[/math] так же равны. Обозначим их как [math]β[/math].
3. [math]∠AEK=2β[/math] как внешний угол при вершине равнобедренного треугольника с углом при основании равным [math]β[/math].
4. Из треугольника [math]KFE[/math] следует [math]∠KFE=∠AFM=180-2β-α[/math].
5. Из треугольника [math]AFM[/math] следует[math]∠AMK=180-(180-2β-α)-β=α+β[/math].
6. Треугольник [math]AKM[/math] равнобедренный ([math]AK=AM \Rightarrow ∠AMK=∠AKM=∠AKD+∠DKM \Rightarrow ∠AKD=∠AMK-∠DKM=α+β-α=β[/math].
7. Треугольники [math]AKC[/math] и [math]AKD[/math] подобны, так как имеют один общий угол [math]∠KAD[/math] и [math]∠AKD=∠KCA=β[/math].
8. [math]\frac{ AC }{ KA }=\frac{ KA }{ AD }[/math], но [math]AC=2KA[/math], а значит [math]\frac{2KA }{ KA }=\frac{ KA }{ AD } \Rightarrow KA=AM=2AD[/math]. Что и требовалось доказать.

Не относится конечно к решению задачи, но факт интересный [math]KC=2KD[/math], так как [math]KM[/math] биссектриса угла [math]∠DKC[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Race "Спасибо" сказали:
michel
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедпенный треугольник и вписанная окружность
СообщениеДобавлено: 12 май 2017, 11:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Красивое геометрическое решение задачи без тригонометрии, без алгебры только через подобие!
Ключевое равенство углов можно было установить немножко побыстрее: [math]\angle AKD= \angle KMN= \angle KLA= \angle LAC= \beta[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Race
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедпенный треугольник и вписанная окружность
СообщениеДобавлено: 12 май 2017, 21:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel, я крутил и так и так, равенство углов, благодаря автокаду определилось быстро, но более простого именно геометрического доказательства не нашел.
Там всего 3 подобных треугольника с углами 2a+b, и еще 3 подобных треугольника с a+b) само по себе построение интересно)

А просто углов a и b там целый океан)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равнобедпенный треугольник и вписанная окружность
СообщениеДобавлено: 25 май 2017, 08:40 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
09 ноя 2016, 16:15
Сообщений: 2185
Cпасибо сказано: 616
Спасибо получено:
429 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 57

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще одно решение можно получить следующим образом.
1. Строим произвольный равнобедренный треугольник АВС.
2. Из вершины В опускаем на основание высоту ВМ.
3. Так как треугольник равнобедренный, но АМ=МС=а, строим точку К на АВ и L на ВС, таким образом что АК=LC=a.
4. На отрезке АМ строим точку Е, таким образом что АЕ=ЕМ, так как 2ЕМ=МС, то ЕС медиана некоего треугольника. Половина треугольника у нас уже есть, это ЕКС.
5. Достраиваем вторую половину треугольника, получаем треугольника KCF, с медианой ЕС и точкой пересечения медиан М.
6. Доказываем что треугольник KFC равнобедренный, с основанием FC, а значит медиана опущенная из вершины K так же является биссектрисой треугольника и углы ЕКМ и МКС равны между собой (тут пришлось использовать теорему косинусов, так как это очевидно, имеем 2 треугольника КАЕ и КАС, у который один угол общий, обозначим альфа, а все стороны выражаются через а.
7 Вписываем окружность, как в предыдущем решении доказываем что углы DKM=MKC, но так как DKM=EKM, то КЕ совпадает с KD, чтд.

При таком решении становится понятным обозначение т. М. Как центра пересечения медиан.
Решение получено не мной, но мне понравилось, так как выполнено через не очевидное достроение и использованы свойства чудесных линий треугольника.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Окружность вписанная в треугольник

в форуме Геометрия

Igor kupryniuk

1

172

02 фев 2020, 20:24

Треугольник, вписанная окружность и прямая

в форуме Геометрия

B0RN2BFREE

3

172

27 янв 2020, 22:50

Вписанная окружность

в форуме Геометрия

Imaginarymath

2

529

28 сен 2015, 16:29

Вписанная окружность

в форуме Геометрия

pd2

2

303

01 фев 2022, 14:57

Вписанная окружность

в форуме Геометрия

Kristinadefa

1

684

09 сен 2015, 16:47

Вписанная окружность

в форуме Геометрия

Eppywppq

2

196

28 ноя 2018, 20:16

Окружность,вписанная в квадрат

в форуме Геометрия

Kristinadefa

1

856

24 сен 2015, 14:58

Трапеция и вписанная окружность

в форуме Геометрия

Vitola

3

1015

11 май 2017, 16:22

Окружность, вписанная в трапецию

в форуме Геометрия

B0RN2BFREE

8

517

01 ноя 2016, 21:39

Задача по теме: вписанная и описанная окружность

в форуме Геометрия

sashadahl

4

1091

18 май 2015, 20:45


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ferma-T и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved