Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задачка из учебника Шарыгина
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=53992
Страница 8 из 8

Автор:  vvvv [ 01 июл 2017, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Уважаемый Li6-D, я уже забыл, что делал и как получил формулу объема. Ну, вот вспомнил - объем - это сумма объемов двух конусов.
Исследовал на экстремум и получил квадрат.Диагональ квадрата (прямоугольника) равна единице.Объем равен pi/3.
А у Вас какой максимальный объем при диагонали равной единице?

Автор:  vvvv [ 01 июл 2017, 20:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Li6-D, откуда появились усеченные конусы?
У меня на картинке видно, что я предполагал. Прямой угол любого прямоугольника с единичной диагональю лежит на окружности единичного диаметра.

Автор:  Li6-D [ 01 июл 2017, 21:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

vvvv, вот рисунок к задаче о вращении прямоугольника (частный случай задачи о вращении параллелепипеда):

Изображение

Автор:  vvvv [ 02 июл 2017, 10:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Li6-D, так у нас одинаковые рисунки.Только у Вас диагональ расположена горизонтально, у у меня вертикально.
См.картинку.Без вычислений видно, что полквадрата дает бОльший объем.
Изображение

Автор:  vvvv [ 02 июл 2017, 10:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Тьфу, вращать -то нужно было прямоугольник, а я вращал прямоугольный треугольник. :D1
Так здесь можно рассмотреть полобъема состоящего из конуса и усеченного конуса.
Все равно, задача школьная. :)

Автор:  Li6-D [ 02 июл 2017, 11:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

vvvv писал(а):
А у Вас какой максимальный объем при диагонали равной единице?


Максимальный объем [math]V = \frac{\pi}{{12}}\left({\frac{2}{t}- 3t + 1}\right)[/math],
где [math]t[/math] – действительный корень кубического уравнения [math]{t^3}+ 2t - 2 = 0[/math]
или [math]t = \sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt{105}}}{9}}}- \frac{2}{{3\sqrt[3]{{1 + \frac{{\sqrt{105}}}{9}}}}}={\text{0}}{\text{.7709169970592481}}...[/math]

Численное значение объема [math]V ={\text{0}}{\text{.3355121536180041}}...[/math]

Отношение меньшей и большей сторон прямоугольника [math]k = \sqrt{2t - 1}={\text{0}}{\text{.7360937400348519}}...[/math]

При вращении квадрата объем будет равен [math]{V_Q}= \frac{\pi}{3}\cdot{\left({\frac{1}{2}}\right)^2}\cdot 1 = \frac{\pi}{{12}}={\text{0}}{\text{.2617993877991494}}...{\text{< V}}[/math].

Задача с вращением параллелепипеда остается открытой.

▼ PS
При поиске этих чисел в интернете ничего не нашлось. Наверное такой задачи еще не было

Автор:  Li6-D [ 09 окт 2017, 20:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Li6-D писал(а):
Придумал задачку близко к теме:
Найти наибольший объем тела, полученного при вращении прямоугольного параллелепипеда вокруг его диагонали единичной длины.


Сам и отвечаю:
Максимальный объем тела получаемого при вращении прямоугольного параллелепипеда вокруг его диагонали длины 1 будет равен V=0.43171501622856839835266054005308478…
Он возникает при соотношении длин ребер K:L:M параллелепипеда:
K=0.65740301699432472535601833201291429…;
L=0.86076618313371133251565142230371881…;
M=1.

Задача можно свести к системе из двух алгебраических уравнений.
Не могу определить какой они степени (не меньше чем 8-ой).
Поэтому решение только численное.

Страница 8 из 8 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/