Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задачка из учебника Шарыгина
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=53992
Страница 7 из 8

Автор:  vvvv [ 05 июн 2017, 00:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Зачем тогда вам нужен калькулятор и программа? :(

Автор:  Li6-D [ 07 июн 2017, 22:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Попробую дать некоторые пояснения по программе.

В коде находятся объемы тел – конусов или гиперболоидов, получаемых при вращении отрезков вокруг оси вращения (в данном случае вокруг диагонали параллелепипеда AC').

Пусть нам известны координаты концов вращаемого отрезка [math]P1P2[/math] в Декартовой системе координат, начало которой помещено в любую точку на оси вращения (пусть это будет вершина A).
В коде принято, что оси X,Y,Z системы координат направлены вдоль ребер параллелепипеда AB, AD, AA’.
То есть нам известны векторы [math]\overrightarrow{P1},\;\;\overrightarrow{P2}[/math].
Известен направляющий вектор оси вращения [math]\overrightarrow E[/math]. Будем пока считать, что это вектор единичной длины.

Объем тела, полученный при вращении такого отрезка, будет равен: [math]V = \frac{\pi}{3}\cdot (\overrightarrow{R1}\cdot \overrightarrow{R1}+ \overrightarrow{R2}\cdot \overrightarrow{R2}+ \overrightarrow{R1}\cdot \overrightarrow{R2}) \cdot \left| H \right|[/math] (1),
где:
- [math]\overrightarrow{R1}= \overrightarrow{P1}\times \overrightarrow E ,\quad \overrightarrow{R2}= \overrightarrow{P2}\times \overrightarrow E[/math] - векторные произведения, радиус-векторы из вершин отрезка к основанию перпендикуляров, опущенных на ось вращения. Длина векторов равна расстоянию от концов отрезка до оси вращения;
- [math]H = \left({\overrightarrow{P1}- \overrightarrow{P2}}\right) \cdot \overrightarrow E[/math] - скалярное произведение, высота тела вращения, длина проекции отрезка [math]P1P2[/math] на ось вращения. В формуле (1) взят еще её модуль, так как это произведение может получиться отрицательным.

Заметим, что в формуле (1) не требуется находить положение и размер «талии» гиперболоида,
в чем ее преимущество по сравнению с формулой Симпсона.

Формулу (1) можно записать без использования векторов, например: [math]V = \frac{\pi}{3}\cdot \left({R{1^2}+ R{2^2}+ R1 \cdot R2 \cdot \cos \widehat A}\right) \cdot H[/math] (2),
где:
- [math]H[/math] – высота тела, [math]R1[/math], [math]R2[/math] – расстояние от концов отрезка [math]P1[/math], [math]P2[/math] до оси вращения.
- [math]\widehat A = \widehat {P1'AP2'}[/math] - угол под которым из точки A видна проекция отрезка [math]P1P2[/math] на плоскость, перпендикулярную оси вращения (XZ – на рисунке). A – точка пересечения оси вращения с этой плоскостью (начало координат).
Изображение
Когда [math]\widehat A = 0,\quad \cos \widehat A = 1[/math] (вращаемый отрезок и ось вращения лежат в одной плоскости),
получим известную формулу для объема усеченного конуса.

Однако вернемся к формуле (1).

В случае [math]\left|{\overrightarrow E}\right| \ne 1[/math] (у нас это длина диагонали параллелепипеда) формулу (1) следует «отмасштабировать» -
получаемый результат разделить на [math]{\left|{\overrightarrow E}\right|^3}[/math].
Все вышеизложенное учтено в фрагменте /*Расчет объема*/ кода выше (три последние строки).

Если кроме численного значения, нужно получить точное выражение объема для конкретных целочисленных значений ребер, то программа намного усложняется, вычисления требуют дополнительной «ручной работы».
Поясню: допустим, что координаты точек [math]P1[/math], [math]P2[/math] и компоненты вектора [math]\overrightarrow E[/math] рациональны.
Учитывая, что в процессе скалярного или векторного произведения векторов в формуле (1) выполняется только сложение-вычитание и умножение, конечный результат можно представить в виде:
[math]V = \pi \cdot{R}\cdot \left|{\overline E}\right|[/math], где [math]{R}[/math] - рациональное число.
Подробно описывать эту «кухню» по получению точных выражений не буду – в ней много неинтересной рутины.

Но, может быть, у кого хватит настойчивости вывести универсальную формулу [math]V(k,l,m)[/math]?!

Автор:  vvvv [ 08 июн 2017, 08:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Не отображаются формулы, записанные в ЛАТЕКСЕ.(Может только у меня :( )

Автор:  Li6-D [ 09 июн 2017, 21:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

У меня нормально формулы на ноуте отображаются. На телевизоре со смарт-тв есть незначительные искажения.

Придумал задачку близко к теме:
Найти наибольший объем тела, полученного при вращении прямоугольного параллелепипеда вокруг его диагонали единичной длины.

Автор:  vvvv [ 10 июн 2017, 08:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Li6-D, по-моему длина оси, вокруг которой вращается объект не имеет значения для того, что получится в результате вращения :(

Автор:  Li6-D [ 15 июн 2017, 19:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

У параллелепипеда длина диагонали равна 1, поэтому объем тела ограничен сверху.
Если длина одного ребра параллелепипеда равна 1, то другие имеют нулевую длину.
Объем тела, образуемого при вращении такого вырожденного параллелепипеда вокруг его диагонали, равен 0.
В случае куба длины его ребер будут равны по [math]\frac{1}{{\sqrt 3}}[/math].
Из темы следует, что объем тела равен [math]\frac{\pi}{9}=0.34906585...[/math], но это не максимум :no:

Автор:  vvvv [ 15 июн 2017, 22:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Так задача ставится так: найти параллелепипед с диагональю равной единице, такой, чтобы объем тела, получающийся при вращении вокруг единичной диагонали был максимальным. Или что то же: Найти параллелепипед с фиксированной диагональю, дающий максимальный объем при вращении вокруг этой диагонали, т.е. найти соотношения между ребрами параллелепипеда.
По-моему, так. Я правильно понял?

Автор:  Li6-D [ 16 июн 2017, 21:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Да, правильно.

Похоже, что искомый параллелепипед второго типа, т.е. из его ребер можно составить остроугольный треугольник.
и все они разной длины. Скорее всего, задача решается только численно.

Есть более легкий вариант - найти стороны прямоугольника, дающего при вращении вокруг его диагонали тело максимального объема. Длина диагонали - фиксированная (допустим равна 1).
Вот эта задачка имеет точное решение.

Автор:  vvvv [ 18 июн 2017, 15:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

Ну, это совсем школьная задача :)
См.картинку.Изображение

Автор:  Li6-D [ 01 июл 2017, 00:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задачка из учебника Шарыгина

vvvv, у меня другой ответ получился, более сложный. Искомый прямоугольник - не квадрат.

При вращении прямоугольника вокруг его диагонали получается тело, состоящее из двух конусов и двух усеченных конусов. Плоскость симметрии тела проходит через середину диагонали и перпендикулярна ей.
Вы также предполагали?

Страница 7 из 8 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/